In classe con la ricorsività: tagliare la pizza e calcolare il numero massimo di fette ottenibili.
I problemi della didattica della matematica nella scuola secondaria, oggi, sono molto diversi rispetto a quelli di un quindicennio fa. L’impegno principale non consiste più nel perturbare un itinerario consolidato dalla tradizione e ritenuto del tutto naturale, una sorta di “via regia” dell’insegnamento — un percorso lineare da A a Z che, di fatto, non esiste più — né nel trovare modalità efficaci per introdurre nuovi argomenti: ce ne sono già fin troppi.
L’attenzione, in particolare da parte dei docenti, è oggi prevalentemente concentrata sulla progettazione didattica: sul ripensare l’organizzazione concettuale e operativa alla quale ricondurre l’insieme dei risultati di apprendimento, specifici e interdisciplinari, prescritti dalle Indicazioni ministeriali e che devono essere perseguiti e verificati attraverso l’attività di insegnamento.
Si tratta di un cambiamento che si va progressivamente estendendo, insieme a una dimensione della matematica sempre più algoritmica e sperimentale, spesso più vicina alla sensibilità dei giovani, che colgono con immediatezza la concretezza dei problemi e delle procedure e sono attratti dal piacere di osservare “che cosa succede” in un’esperienza laboratoriale, come può essere quella centrata su un processo iterativo.
In effetti, non stupisce che, in questo cambio di prospettiva e di attenzione didattica, la ricorsione abbia assunto un ruolo sempre più centrale. Ne abbiamo parlato nell’articolo In classe con la ricorsività di qualche giorno addietro. Oggi vogliamo riprendere e continuare quel discorso, soffermandoci sulle procedure ricorsive e sul loro marcato aspetto unidirezionale, portando l’esempio di una “macchina” che, ad un numero \(n\) in ingresso, associa il valore \(a_{n-1} + n\).
Partendo dal punto iniziale \(a_0 = 1\), l’orbita, di seme 1, descritta da questa macchina è:
\[
a_0 = 1,\quad
a_1 = 1 + 1 = 2,\quad
a_2 = 2 + 2 = 4,\quad
a_3 = 4 + 3 = 7,\quad
a_4 = 7 + 4 = 11.
\]
In forma tabellare:
\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
a_n & 1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & 29 & 37
\end{array}
\]
Questi numeri rappresentano il numero massimo di parti in cui è possibile dividere una regione (una “pizza”, ad esempio) con \(n\) tagli.
Zero tagli non modificano la regione; un taglio la divide in due; due tagli in quattro parti. Con 3 tagli, una configurazione produce 6 parti, un’altra ne produce 7: quest’ultima è la disposizione che realizza il massimo. Con 4 tagli si arriva a 11 parti.
Il problema generale, facendo fuori la pizza, può essere formulato così:
“Qual è il massimo numero \(a_n\) di regioni finite o infinite definite da \(n\) rette nel piano?” Questo problema, in una forma analoga, fu affrontato e risolto nel 1827 da Jakob Steiner (1796–1863).
Una via investigativa interessante consiste nello “srotolare” la ricorsione, procedendo a ritroso.
\[
a_n = a_{n-1} + n
\]
\[
a_n = a_{n-2} + (n-1) + n
\]
\[
a_n = a_{n-3} + (n-2) + (n-1) + n
\]
\[
\vdots
\]
\[
a_n = a_0 + 1 + 2 + 3 + \cdots + n
\]
Poiché \(a_0 = 1\), si ottiene:
\[
a_n = 1 + S_n,
\]
dove \(S_n\) è la somma dei primi \(n\) numeri naturali.
Il celebre episodio relativo a Carl Friedrich Gauss permette di ricavare rapidamente:
\[
S_n = \frac{n(n+1)}{2}.
\]
Ritornando alla ricorsione:
\[
a_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}.
\]
Questa “forma chiusa” consente di calcolare il valore \(n\)-esimo senza conoscere tutti i termini precedenti.
Ad esempio:
\[
a_{100} = 1 + \frac{100 \cdot 101}{2} = 5051,
\]
cioè il numero massimo di fette ottenibili con 100 tagli.
Naturalmente, non sempre è possibile tradurre una ricorsione in una forma chiusa; anzi, nella maggior parte dei casi conoscere \(a_n\) richiede la conoscenza di tutti i valori precedenti.
Una procedura così particolare, che sembra limitare al minimo i voli dialettici e costringere il ragionamento entro un percorso rigidamente unidirezionale, spiega bene i sentimenti contrastanti che la ricorsività ha suscitato nell’animo dei matematici.
Una testimonianza significativa si trova in L’esperienza matematica, uno dei libri più spesso consigliati ai docenti di matematica (è incluso nella lista dei dieci libri “assolutamente da leggere”), dove Philip J. Davis e Reuben Hersh riportano il punto di vista di Charles Strauss, matematico esperto di calcolatori elettronici. Alla richiesta di un parere sulla ricorsività, Strauss rispondeva così:
«Non sono cresciuto in mezzo alla recursione e non mi sono mai trovato del tutto bene con essa, ma la computer science in questi tempi l’ha resa di importanza notevolissima. Io penso che gli algoritmi ricorsivi siano lenti e brutti e, se è possibile fare una cosa in modo completamente non ricorsivo, prenderò quella strada. Tuttavia la recursione suscita un grande entusiasmo attualmente. La insegnano nei dipartimenti di computer science: oggi ai giovani si insegna a pensare ricorsivamente; personalmente mi dà il mal di capo.»
Di tutt’altro tenore è il più giovane Douglas R. Hofstadter:
«L’annidarsi di cose entro cose e le sue variazioni… Un racconto all’interno di un racconto, una commedia nella commedia, un quadro dentro un quadro, scatole cinesi dentro scatole cinesi (perfino commenti tra parentesi all’interno di commenti tra parentesi!): tutto ciò dà solo una piccola idea del fascino della ricorsività”»
La conclusione che se ne può trarre è chiara: inizialmente confinata al settore della logica matematica, la ricorsività ha progressivamente conquistato un posto di rilievo in tutta la matematica e, soprattutto grazie allo sviluppo dei mezzi informatici, anche nell’insegnamento secondario.
C’è però un’altra osservazione, anch’essa significativa per la didattica della matematica, suggerita proprio dalla pizza, da un oggetto così concreto. È l’alimento più gradito ai giovani e uno dei più noti e diffusi al mondo; ed è talmente semplice e familiare all’esperienza quotidiana da essere entrato a far parte anche della matematica. Basterebbe rileggere, a questo proposito, l’articolo, singolare quanto acuto, La matematica e la pizza di Biagio Scognamiglio.
Forse è proprio in queste incursioni inattese, dove un oggetto quotidiano illumina un pensiero, che la matematica rivela la sua natura più autentica: una disciplina rigorosa capace, al tempo stesso, di dialogare e di cedere alle forme, ai colori e ai sapori della vita di tutti i giorni.
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