La somma supera 5?

La somma degli inversi da 1 a 100 supera 5? Somme, serie, logaritmi, numeri primi, costante di Eulero, uniti come petali di candida rosa!

Assegnando agli alunni il compito di calcolare la somma dei naturali da 1 a 100, il maestro era convinto di tenere la classe impegnata per un bel po’ di tempo. E così sarebbe stato, certamente, in una ordinaria classe di adolescenti. Nella storiella che si tramanda però, non fu così! Il proposito del maestro fu vanificato dalla presenza in classe di un allievo d’eccezione: Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Colui che sarà ricordato come il princeps mathematicorum per antonomasia, il risultato lo trovò subito:

1+2+3+4+5+6+………..+98+99+100 = 101 x 50 = 5050.

La somma dei naturali da 1 a n è: n(n+1)/2.

Da allora, siamo quasi alla fine del XVIII secolo, l’esperienza di quel maestro non è certo rimasta isolata. Chissà quanti l’hanno riproposta e ancora la propongono con le più svariate finalità e nei mutati contesti storici. Ad esempio: contare per due o per tre, ecc. o andare oltre il 100. Gli addendi diventano sempre di più, la somma sempre più grande. Si può procedere quanto si vuole e fin dove si vuole. Si apre la mente ad una molteplicità concettuale comprendente: infinito, serie, limite,….ciò che è “divergente”! E la serie dei numeri naturali è, ovviamente, divergente.

Ricorrendone le condizioni, si spinge in tal modo a pensare, ad immaginare, a riflettere. Si orientano gli studenti, a fare matematica.

Esempio: il “maestro” sfruttando anche la diffusa disponibilità di strumenti di calcolo, potrebbe passare a considerare gli inversi? Arrivare a porre il problema di valutare quanto fa:

La somma supera 5? Eventualmente, fin dove si dovrà continuare a sommare per superarlo? Qui gli addendi diventano sempre più piccoli. Il maestro potrà mettere in gioco tutto il suo sapere e tutte le sue abilità maieutiche. Potrà far eseguire le 99 addizioni e ottenere il risultato, oppure cogliere l’occasione per sfruttare quello che fu il ragionamento escogitato da Nicole Oresme (1320-1382) per dimostrare che la serie armonica è divergente: le somme parziali, anche se incrementate di quantità minime, diventano via via più grandi, tendono ad infinito. Ripercorrere il ragionamento di Oresme consiste nel raggruppare in ogni parentesi la metà di 1.

Costruita cioè sostituendo ad 1/3, ¼ che è più piccolo. A 1/5, 1/6/, 1/7 il valore 1/8, ancora un valore più piccolo. E così da 1/17 e poi da 1/33 a 1/64. E poi un’altra metà fino a 128=2⁷, e ancora un’altra fino a 256=2⁸ e così via. Questa somma è più piccola di quella richiesta, ma proseguita

tende ad infinito. Quindi la serie armonica diverge. Ma, ci si accorge, con una lentezza estrema. Per superare 5 occorre infatti arrivare a 83.

È 1+1/2+1/3+…+1/83=5,002068… e per superare 6 bisogna aggiungere altri 144 termini.

L. Mascheroni (1750 – 1800)

A questo punto, memori della massima che ogni cosa può essere insegnata purché in una forma onesta, si può essere portati a valutare se sia utile, didatticamente, compiere una magia! Utilizzare cioè il potere della calcolatrice. In particolare, il tasto che indica il logaritmo naturale ln. Per N=100, si ha ln(100)= 4, 6051 che non è proprio una buona approssimazione (e si capirà perchè). Meglio ln(1000)= 6.9077….per la somma da 1/1 a 1/1000. Più grande è il numero N, migliore sarà l’approssimazione.

Interessante tornare allora al problema originario: per quale valore di N, la somma degli inversi da 1 a N può essere vicina a 10?  E a 100? Le risposte sono all’incirca immediate. Nel primo caso N sarà più grande di 10⁴ [ln(22100)= 10,00333….] nel secondo sarà dell’ordine di 10⁴³: un numero grandissimo e l’inverso un numero piccolissimo. In effetti la magia è anche questa: che quantità così piccole possono pian piano portare…. all’infinito. Una conferma del proverbio “una goccia che fa traboccare il vaso” che è una variante del principio che governa le grandezze archimedee: con piccoli passi si può superare qualsiasi grande distanza. Ovvero dati α, β, numeri reali , α<β, esiste un N tale che Nα>β.

Nell’altra magia, quella operata dal logaritmo, il trucco c’è. Ed è presto svelato con una interpretazione geometrica dei personaggi in campo. Vedere 1/n come l’area di un rettangolo di base 1 e altezza 1/n. Il grafico sottostante è al riguardo pienamente rivelatore. Svela l’arcano. Svela perché il tasto logaritmo funzioni così bene.

La somma delle aree dei rettangoli presenta un eccesso nei primi rettangoli. Poi è sempre più vicina all’area sotto il ramo d’iperbole, da 1 a infinito. Un’area che è infinito. Ma dov’è il legame? Da dove esce fuori il logaritmo? Dal fatto che l’area sottesa al ramo di iperbole tra 1 e N è ln(N). [Vedi]

Eulero fu tra i più appassionati studiosi della serie armonica. Stabilì che:

ove R è un infinitesimo di ordine superiore a 1/N per n tendente a +∞ e γ è la costante di Eulero-Mascheroni un cui valore approssimato è γ *=0,57721.

Questo significa che :

Cioè le aree, quella dei rettangoli e quella delimitata dall’arco di iperbole, non saranno mai le stesse. Al tendere di N all’infinito, la differenza tende a questo numero fisso, una costante che Eulero chiamò C e Lorenzo Mascheroni nel 1790 in Adnotationes ad calculum integrale Euleri denotò con γ. Perché una costante? In effetti il suo valore è dovuto a quell’eccesso di area molto evidente nei primi rettangoli e che poi diminuisce gradatamente  al crescere di N. Di γ ad oggi non si sa se è razionale o irrazionale. È uno dei problemi irrisolti della matematica. È stato dimostrato che nel caso fosse un numero razionale p/q, il denominatore q dovrebbe avere almeno 242080 cifre.

Pensare ad Arte (Studio EOT)

Che tutto questo sia legato, intimamente connesso, è decisamente da scoprire e riconoscere per gradi.

A questo punto se il maestro afferma: “la probabilità che un numero N dell’ordine di 100 miliardi sia primo è dell’ordine dell’inverso di 1+1/2+1/3+…+1/N” l’allievo potrà capire che il maestro si riferisce all’inverso del logaritmo. Capirà che se prende a caso un numero di 11 cifre, ha una probabilità su 25 che esso sia primo.

In definitiva apprendere della magia del logaritmo spinge certamente a saperne di più di questo strumento. Alain Connes in Triangolo di pensieri ne parla come di un fenomeno: il risolutore di tante fatiche di calcolo che trasforma le moltiplicazioni in addizioni. Un fenomeno che il progresso della tecnologia ha sostenuto svincolandone l’uso dalla necessità delle tavole. Per inciso, le tavole dei logaritmi, sono state per molti decenni il libro più venduto e utilizzato a livello di scuola secondaria di secondo grado.

Geneticamente legato all’aritmetica delle progressioni aritmetiche e geometriche, il logaritmo rimane attaccato alla “realtà matematica arcana” dei numeri interi presentando una base naturale il cui sviluppo ha una forma così simile alla serie armonica da apparire sua filiazione diretta:

ove il ! è il simbolo di fattoriale introdotto da Christian Kramp (1760-1826) nel 1808.

Eulero studiò le serie armoniche, al plurale,   e riuscì a provare che esse sono tutte divergenti per n≤1 e convergenti per n>1. Nel 1735 scrisse:

Eulero aveva dimostrato che ζ(2), la somma degli inversi dei quadrati è nientepopodimeno che legata a π, uguale a π²/6.  Un risultato strabiliante e misterioso. Un risultato anch’esso legato ai numeri primi. Il suo inverso 6/π²≈0,608 (ricorda la sezione aurea?) è la probabilità che due numeri interi scelti a caso siano primi fra loro e anche la probabilità che un intero qualsiasi n non sia divisibile per un quadrato.  Le dimostrazioni della divergenza di ζ(1) e della convergenza ζ(2) sono due dei dodici grandi teoremi della matematica che William Dunham incontra nel suo Viaggio attraverso il genio. La funzione ζ(n) è nota come funzione zeta di Riemann.