Tracce per fare matematica: la somma degli inversi dei quadrati

Altre tracce per fare matematica in classe. Quant’è la somma di tutti gli inversi dei numeri quadrati? È π², circa 10, diviso 6, primo dei perfetti.

Gran genio e gran lavoratore fu Leonardo Eulero. Virtuoso nell’algebra e nei calcoli, amò anche cedere alla “tentazione del diavolo” di giocare con polinomi infiniti (ne parlò il giovane Niels Abel). Non senza, però, ricavarne le immense gioie delle scoperte che consegnò alla memoria eterna della matematica con il suo nome. Lo sviluppo in serie della funzione sen: R→R era noto da tempo. $senx = x - \frac{x^{3}}{3!}+ \frac{x^{5}}{5!}- \frac{x^{7}}{7!}+.....$

Quello che portò Eulero al successo fu un lampo di genio colto in una trasposizione finito/infinito. Il suo proposito era di dare una risposta al problema che era stato una vera croce per molti suoi predecessori e anche per il suo maestro Johann Bernoulli. Il problema consisteva nel determinare la somme degli inversi dei quadrati:

$1 +\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + ....+\frac{1}{h^{2}}+.......$

La scintilla, con molta probabilità, scaturì dall’aver avuto sott’occhi la divisione di senx per x:

$\frac{senx}{x}= 1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+...., x\neq 0$

Il lampo di genio che ne conseguì lo portò a “vedere” la soluzione in una proprietà elementare dei polinomi.

Se gli zeri della funzione polinomiale f(x) sono a, b, c, d,… allora si può scrivere:

$f(x) = K (x-a)(x-b)(x-c)(x-d).........$

Però se f(x) = 1 quando x=0, allora è anche possibile scrivere:

$f(x)= (1 - \frac{x}{a})(1 - \frac{x}{b})(1 - \frac{x}{c})........ [1]$

Fu questa possibilità che Eulero sfruttò per risolvere il suo problema. Gli zeri della funzione senx/x (x ≠0) sono noti e $\lim_{x \mapsto 0 }\frac{senx}{x}=1$

Scrisse dunque il polinomio sviluppo di $\frac{senx}{x}$ come la f(x) di prima:

Ora, per il principio di identità dei polinomi i coefficienti dei termini di ugual potenza dovranno essere uguali. Eulero ne dedusse che:

$\frac{1}{3!} = \left ( 1+\frac{1}{4\pi ^{2}}+\frac{1}{9\pi ^{2}}+\frac{1}{16\pi ^{2}}+\frac{1}{25\pi ^{2}}+...... \right )$

ovvero:

$\frac{1}{6} = \frac{1}{\pi ^{2}}\left ( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}....... \right )$

Quindi:

$\frac{\pi ^{2}}{6} = 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+.......$

Formula elegante e mistica. Dai quadrati porta magicamente ai cerchi e a π. Formula tra le più affascinanti della matematica. Un mistero nelle sue più intime ragioni, al pari della . [Vedi]

Leonardo Eulero (1707-1783)

Altre tracce: tante vie da imboccare per fare matematica, secondo i gusti

Il rapporto fra π², che è circa 10, e 6, che è il primo dei numeri perfetti, Eulero lo calcolò fino alla ventesima cifra: 1,64493406684822643647.

Fino a quale k-esimo quadrato dovette arrivare? Il piacere di calcolare, l’occupazione del tempo, la concentrazione e l’esattezza nel procedere! E non è un’operazione semplice! Non è come una procedura ricorsiva che è autocorrettiva. Ad esempio, calcolare √2 con il metodo di Erone o Newton. Qui si può anche sbagliare. Proseguendo però, tutto si riaggiusta. L’attrattore è quello, è 1.4142…. La procedura è là che va a tendere. Come un grave che cade a terra: può anche essere sospinto e deviato dalla sua traiettoria, ma non sfugge alla legge di gravitazione, alla sua forza attrattiva. Nel calcolo di Eulero, invece, tutto è fatto senza errori!

La reversibilità operativa: non va persa l’occasione di utilizzare in modo bidirezionale (potente arma didattica) il risultato di Eulero. Esso fornisce infatti una buona approssimazione di π.
Sorprendente la “vicinanza” di π²/6 al numero d’oro φ: 1,61803398874989…

Porta a chiedere: esiste un h per cui

$1 +\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + ....+\frac{1}{h^{2}}+.......$

è proprio φ? Che senso potrebbe avrebbe calcolarlo?

Successioni e ricorrenze. In analogia a quanto fatto in la somma supererà 5 ? Il punto di partenza potrebbe essere il problema: trovare la somma dei primi n quadrati. [come fa Polya in La scoperta Matematica]…. e tradurre in immagini e figure. Dal disegno dei quadrati, alla curva y=1/x²e all’area sottesa.
Come varia senx in funzione di x? Voltaire confessò di non capire perchè senx non crescesse proporzionalmente ad x. Il limite fondamentale senx/x per x→0 e le sue dimostrazioni. Quella euristica di Courant e Robbins in Che cos’è la matematica?

L’algebra dei polinomi

La fattorizzazione dei polinomi è un esercizio tra i più formativi. Un’incursione può essere fatta nel teorema fondamentale dell’algebra e in Ruffini che la tavola degli apprendimenti del primo biennio include tra i risultati da insegnare e apprendere. Costruire esempi di polinomi fattorizzabili come in [1] potrebbe essere utile per rinverdire anche le relazioni che legano le radici di un’equazione ai suoi coefficienti. Argomento molto interessante che qualche anno fa fu alla base di coinvolgenti discussioni collettive. [VEDI]

Dall’algebra all’analisi

In prospettiva si può proporre di dividere un polinomio A(x) di grado n per B(x) di grado m con n≤m ordinati secondo le potenze crescenti di x, utilizzando le medesime regole del caso standard. Ad esempio 1+ x diviso 1+x+x² o più semplicemente 1 diviso 1+x o 1-x. Un modo che avvicina ai momenti iniziali del calcolo infinitesimale e alla via algebrica seguita dal suo sviluppo. Decisamente interessanti le riflessioni che ne possono conseguire.[VEDI]

Probabilità e numeri primi

Chi si muove nel territorio dei naturali scopre che c’è un numero divisibile per 3, ogni 3; per 5, ogni 5 e così via. Questo significa che egli ha, nel suo andare a zonzo per i numeri, la probabilità 1/p d’incontrare un numero divisibile per il primo p. Poiché gli incontri si possono ritenere indipendenti, la probabilità d’incontrare un numero divisibile sia per 2 che per 23 è 1/46. Mentre la probabilità che egli ha d’incontrare due numeri divisibili entrambi per lo stesso primo p è 1/p². E da ciò ovviamente consegue anche che la probabilità che essi non siano entrambi divisibili per p è 1-1/p². Da ciò consegue il risultato:

la probabilità che due numeri interi non siano divisibili per uno stesso numero primo è 6/π²

il cui valore approssimato 0,608 indica che si ha il 60% di possibilità di incontrare coppie coprime. E la stessa probabilità 6/π² si ha d’incontrare un numero che non sia divisibile per un numero quadrato. [Si veda: Manfred R. Schroeder, La teoria dei numeri, 1986]

Legami e raffronti

Il risultato di Eulero è uno dei 12 grandi teoremi individuati da William Dunham e figura altresì nella lista Beauty in Mathematics compilata nel 1988 da The Mathematical Teacher. Nel sondaggio che ne conseguì occupa la quinta posizione dopo, nell’ordine:

Euler’s formula for a polyhedron V+F=E+2
The number of primes is infinite
There are 5 regular polyhedra

Il passo antologico per leggere la matematica e un po’ della sua storia.

Una delle prime e più sensazionali scoperte di Eulero, forse quella che consolidò più fermamente la sua crescente fama, fu di riuscire a calcolare la somma della serie $\sum_{1}^{\infty }n^{-2}$ e più in generale di $\sum_{1}^{\infty }n^{-2\nu }$ , ossia, in notazione moderna ζ(2ν), per tutti gli interi positivi pari 2ν. In realtà, questo era un problema famoso, formulato per la prima volta da P. Mengoli nel 1650 che aveva resistito ai tentativi di tutti gli analisti precedenti, inclusi Leibniz e Bernoulli. Come era sua caratteristica, Eulero, prima di risolvere il problema, si era cimentato in lunghi calcoli numerici, allo scopo di ottenere delle buone approssimazioni per quelle serie. Fu proprio a tal fine, pare, che egli sviluppò il metodo tradizionalmente noto come «formula di somma di Eulero-MacLaurin», e nel far ciò riscoprì anche i numeri di Bernoulli, la cui reale importanza per la teoria dei numeri non sarebbe dovuta emergere fino al secolo successivo. Ciò che Eulero scoprì nel 1735 fu che ζ(2)=π²/6 e. più in generale che per ν ≥ 1, ζ(2ν) = r_νπ^2ν, dove gli r_νsono numeri razionali che risultarono poi strettamente correlati ai numeri di Bernoulli.

Per prima cosa Eulero ricavò il valore di ζ(2) , applicando in maniera alquanto azzardata i risultati algebrici di Newton sulle somme di potenze delle radici di un’equazione di grado finito, a equazioni trascendenti del tipo 1-sen(x/a)=0: un procedimento non privo di insidie, come egli di certo ben sapeva. I tempi di pubblicazione a Pietroburgo erano lunghi. Ma Eulero aveva provveduto a comunicare tempestivamente le sue nuove scoperte ad amici e colleghi sparsi per tutta Europa, cosicché esse divennero ben presto l’argomento di vivaci discussioni scientifiche tra lui e molti suoi corrispondenti. Nel frattempo egli non risparmiava le proprie energie per rendere più rigorosi i propri metodi. Meno di dieci anni dopo la sua prima scoperta, era già in grado di includere nella Introductio in Analysin Infinitorum (pubblicata a Losanna nel 1748, ma già prota in manoscritto nel 1744) un resoconto completo di tutta la materia, del tutto soddisfacente per i criteri dell’epoca, e anche, in sostanza, per i nostri, ben più esigenti.

Esso era basato su uno studio dettagliato delle funzioni trigonometriche e delle loro espressioni in serie e prodotti infiniti […] Quanto agli sforzi compiuti da Eulero per scoprire qualcosa di più sui numeri ζ(n) per n dispari e maggiore di 1, non deve destare meraviglia che essi siano stati vani, dal momento che fino ad oggi non è stato fatto quasi nessun progresso nella soluzione di questo problema. André Weil Teoria dei numeri, Einaudi, 1993, p.170-171)

Eulero così comunica per lettera il suo risultato.

Così tanto lavoro è stato fatto sulle serie ζ(n), che sembra estremamente difficile che su di esse si possa scoprire qualcosa di nuovo….Anch’io, malgrado i ripetuti sforzi, non ho potuto ottenere nient’altro che valori approssimati per la somma di tali serie…. Ora, tuttavia, in maniera del tutto inaspettata, ho trovato n’elegante formula per ζ(2), che si fonda sulla quadratura del cerchio [cioè su π].Eulero, lettera del 1735, in André Weil op. cit. pag. 244

La divisione dei polinomi, le serie, la fisica e il punto di vista del Nobel Sir Roger Penrose

Dalla divisione di 1 per 1-x²si ha:

$\frac{1}{1-x^{2}}= 1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+ x^{8}+.......$

che per x= 2, dà l’uguaglianza:

$-\frac{1}{3}=1+2^{2}+2^{4}+2^{6}+ 2^{8}+.......$

Leonhard Euler scriveva spesso equazioni come questa ed era diventato quasi una moda punzecchiarlo gentilmente per il suo sostegno a tali assurdità, mentre lo si potrebbe scusare per il fatto che in quell’epoca non si conosceva praticamente nulla delle questioni di «convergenza» e di cose simili. In effetti, è vero che il trattamento matematicamente rigoroso delle serie non arrivò prima degli ultimi anni del diciottesimo secolo e dei primi del diciannovesimo, attraverso il lavoro di Augustin Cauchy e di altri. Inoltre, secondo questo trattamento rigoroso, l’equazione di sopra sarebbe ufficialmente classificata come una sciocchezza. Tuttavia io penso che sia importante rendersi conto che, nel senso appropriato, Euler sapeva veramente quello che faceva quando scriveva apparenti assurdità di questa natura, e che esistono sensi in cui l’equazione di sopra deve essere considerata «corretta». In matematica è infatti imperativo essere assolutamente chiari nel richiedere che le equazioni abbiano un significato esatto e accurato. È egualmente importante anche non essere indifferenti alle «cose che avvengono dietro le scene» che, in definitiva, possono condurre a intuizioni profonde. È facile perdere di vista tali cose aderendo con troppo rigore a ciò che appare come strettamente logico, come il fatto che la somma dei termini positivi 1+4+16+64+256+….non può verosimilmente essere -1/3. Come esempio pertinente, ricordiamo l’assurdità logica di trovare una soluzione reale per l’equazione x²+1=0. Non vi è alcuna soluzione; tuttavia, se la lasciamo lì, perdiamo tutte le profonde comprensioni offerte dall’introduzione dei numeri complessi. La stessa osservazione può essere applicata all’assurdità di una soluzione razionale all’equazione x²=2. in effetti , è perfettamente possibile dare un senso matematico al risultato «-1/3» […] si può porre in rilievo che nella fisica moderna, in particolare nella teoria quantistica dei campi, si incontrano spesso serie divergenti di questo genere. È un problema molto delicato decidere se i «risultati» ottenuti in questo modo abbiano effettivamente significato e siano effettivamente corretti. Alcune volte, risultati estremamente accurati sono davvero ottenuti con la manipolazione di simili espressioni divergenti e, in qualche occasione, sono sorprendentemente confermati dal confronto con reali esperimenti fisici. D’altra parte, non si è sempre così fortunati. Questi delicati problemi recitano ruoli importanti nelle attuali teorie fisiche e sono molto pertinenti per i nostri tentativi di valutarle. Il punto di immediata a noi, qui, è che il «senso» che si può essere in grado di attribuire a simili espressioni apparentemente senza significato dipende, in modo essenziale, dalle proprietà dei numeri complessi.Roger Penrose, La strada che porta alla realtà, 2020 (2004)

Per ultimo: cos’è fare matematica?

Andare oltre gli itinerari canonici. Guardare più ai punti di arrivo che ai punti di partenza. Andare oltre i capitoli e le loro sistemazioni “levigate”, bell’e pronte, ma false: superarne le limitazioni. Abbattere le gerarchie concettuali. Costruire affrontando problemi, congetturando soluzioni, pronti a cambiare strada. Se il problema è difficile, pensarne varianti più semplici, suddividerlo. La matematica è un territorio così intimamente connesso che ogni suo punto vi è raggiungibile in infiniti modi.

Possibile accusa: insegnamento episodico della matematica, perdita della conseguenzialità, della gerarchia, dell’ordine, della deduzione, del rigore. Perdita dell’architettura scenica della matematica e della sua rappresentazione nell’universale teatro dell’insegnamento.

Emilio Ambrisi

Laureato in matematica, docente e preside e, per un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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