La formula di Eulero per i poliedri.
Da Che cos’è la matematica? Di Richard Courant e H. Robbins – Paolo Boringhieri – Torino, 1950.
Leonardo Eulero (1707 – 1783)
Benchè lo studio dei poliedri occupi nella geometria greca un posto centrale, si dovette arrivare a Descartes e a Eulero per la scoperta della seguente proprietà. Indichiamo con V il numero dei vertici, con E il numero degli spigoli, con F il numero delle facce di un poliedro semplice. Si ha sempre:
(1) V – E + F =2
Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali. ( Nel caso dei solidi regolari tutti i poligoni sono uguali e tutti gli angoloidi sono uguali). Un poliedro è semplice se non ha “buchi”, cosicché la sua superficie possa essere trasformata per deformazioni continue nella superficie di una sfera.
Il lettore potrà controllare che la formula di Eulero vale per i poliedri semplici, ma non vale per il poliedri non semplici.
Dimostrazione
Per dimostrare la formula di Eulero, immaginiamo che il poliedro semplice considerato sia cavo, con una superficie fatta di gomma sottile. Se si asporta allora una delle facce del poliedro cavo, si può deformare la superficie rimanente fino a distenderla in un piano. Naturalmente, le aree delle facce e gli angoli determinati dagli spigoli del poliedro saranno alterati da questo procedimento. Ma il reticolato piano dei vertici e degli spigoli conterrà lo stesso numero di vertici e di spigoli del poliedro originale, mentre il numero dei poligoni sarà diminuito di uno, perché si è eliminata una faccia. Faremo ora vedere che, per il reticolato piano, V – E + F = 1, cosicché per il poliedro originale, contando la faccia eliminata, il risultato è V – E + F = 2.
Prima di tutto rendiamo triangolare il reticolato piano procedendo come segue: tracciamo una diagonale in un poligono del reticolato che non sia un triangolo. L’effetto di questa operazione è di aumentare di 1 sia E che F, mantenendo così inalterato il valore di V – E + F. Si continuano a tracciare diagonali, congiungendo coppie di punti ( fig. 1) finché la figura risulta interamente formata da triangoli, come alla fine deve sempre accadere.
Nel reticolato diviso in triangoli, V – E + F ha lo stesso valore che aveva prima, perché l’operazione di tracciare diagonali non lo ha alterato. Alcuni dei triangoli hanno dei lati sul contorno del reticolato piano. Di questi qualcuno, come ABC, ha soltanto un lato sul contorno, mentre altri possono averne due. Prendiamo uno di questi triangoli e asportiamo quella parte del perimetro che non appartiene anche a qualche altro triangolo. Così da ABC asportiamo il lato AC e la faccia da questo limitata, lasciando i vertici A, B, C e i due lati AB e BC; mentre da DEF asportiamo la faccia racchiusa, i due lati DF e FE, e il vertice F.
L’eliminazione di un triangolo del tipo ABC fa diminuire E ed F di 1 e lascia V inalterato, cosicché il valore di V – E + F rimane lo stesso. L’eliminazione di un triangolo del tipo DEF fa diminuire V di 1, E di 2, ed F di 1, cosicché il valore di V – E + F rimane ancora lo stesso. Con una successione opportunamente scelta di queste operazioni si possono eliminare i triangoli aventi dei lati sul contorno ( che muta ad ogni eliminazione), finché rimane un solo triangolo, con tre lati, tre vertici e una faccia. Per questo semplice reticolato, si ha V – E + F = 3 – 3 + 1. Ma abbiamo visto che il valore di V – E +F rimane inalterato, perciò, anche nel reticolato originario piano, V – E + F deve essere uguale a 1, e quindi è uguale a 1 per il poliedro da cui sia stata eliminata la faccia. Ne deduciamo che V – E + F = 2 per il poliedro completo. La dimostrazione della formula di Eulero è così completa.
Non esistono più di cinque poliedri regolari
Servendosi della formula di Eulero, è facile far vedere che non esistono più di cinque poliedri regolari. Infatti supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce , ciascuna delle quali sia un poligono regolare di n lati, e che a ciascun vertici si incontrino r spigoli. Contando gli spigoli rispetto alle facce e ai vertici, si vede che
(2) nF = 2E,
perché ogni spigolo appartiene a due facce , e quindi, nel prodotto, nF va contato due volte; inoltre,
(3) rV = 2E,
poiché ogni spigolo contiene due vertici. Dalla (1) si ottiene dunque l’uguaglianza
ovvero
in cui deve essere 
poiché un poligono deve avere almeno tre lati, e almeno tre lati devono incontrarsi nel vertici di ciascuno degli angoloidi di un poliedro. Ma n e r non possono essere entrambi maggiori di tre, poiché in tal caso il primo membro della uguaglianza (4) non potrebbe superare ½, e questo è impossibile per ogni valore positivo di E. Vediamo perciò quali valori può assumere r per n = 3 e quali valori può assumere n per r =3. La totalità dei poliedri che si ottengono in questi due casi dà anche il numero dei poliedri regolari possibili.
Per n = 3, l’uguaglianza (4) diventa
r può quindi essere uguale a 3, 4, 5. ( 6 e ogni numero maggiore sono evidentemente esclusi, perché 1/E è sempre un numero positivo). Per questi valori di n e di r si ottiene E = 6, 12, o 30, valori che corrispondono rispettivamente al tetraedro, all’ottaedro e all’icosaedro. Analogamente, per r = 3, si ha l’uguaglianza
dalla quale segue n = 3, 4, o 5 ed E = 6, 12, o 30, rispettivamente. Questi valori corrispondono rispettivamente al tetraedro, al cubo e al dodecaedro. Sostituendo i valori trovati per n, e, ed E nelle uguaglianze (2) e (3), si ottiene il numero dei vertici e delle facce dei poliedri corrispondenti.
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