Le sezioni del cubo, dalla Didattica della matematica di Emma Castelnuovo.

 [ ..] Trattiamo ora un argomento che in generale non viene svolto nelle scuole secondarie, ma che è – a me sembra- molto importante perché mette in relazione geometria dello spazio e geometria del piano; vogliamo parlare delle sezioni piane di alcuni solidi.

Cominciamo dal cubo. Il bambino conosce i cubi fin dal giardino dell’infanzia e proprio perché sono figure tanto note, non destano per lui troppo interesse. Ma si può portare l’attenzione su qualche proprietà più riposta del cubo.

E’ l’osservazione di una gabbietta a forma cubica, un cubo, cioè, le cui facce siano realizzate da reticelle metalliche, che ci conduce a qualche interessante scoperta. La gabbia si trova poggiata su un tavolo in una stanza al buio; socchiudo gli scuri della finestra e una ‘fetta’ di luce penetra nell’interno e va a colpire la gabbia. Si presenta allora un fenomeno interessantissimo: la ‘fetta’ di luce ha illuminato dei punti della gabbia; si vede ‘tracciato’ sul cubo il contorno luminoso di un quadrato o di un rettangolo (fig. 1) e (fig. 2). Dunque, quando un piano di luce taglia un cubo dà luogo a un quadrato o un rettangolo. Questo è quanto osserva il ragazzo.

Studiamo ora la questione da un punto di vista matematico: il piano di luce era in posizione verticale ( era infatti una fenditura fra due scuri di una finestra che dava luogo al piano) e il cubo si trovava poggiato su un tavolo; dunque, il piano luminoso era perpendicolare  a una faccia, alla base del cubo.

Il ragazzo stesso arriverà a concludere che: la sezione di un cubo con un piano perpendicolare a una faccia è un quadrato o un rettangolo.

Siamo partiti  da una semplice osservazione; ma l’osservazione fa nascere dei problemi: se il piano non fosse perpendicolare ad una faccia del cubo, come risulterebbe la sezione? Volendo realizzare questo caso siamo condotti a ideare un’esperienza da effettuarsi mediante un proiettore. Facciamo sì che la luce sia obbligata a uscire dal proiettore attraverso una sottile fenditura rettilinea: la cosa si

 può realizzare facilmente coprendo la sorgente di luce con un cartoncino scuro su cui si sia operato

un taglio ben netto. La luce, uscendo da una fenditura rettilinea, darà luogo a un piano luminoso.

Costruiamo poi l’intelaiatura  del cubo in metallo e materializziamo le facce con fili di elastico paralleli a uno spigolo e a piccolissima distanza uno dall’altro  come è indicato in fig. 3.

Se questo cubo si dispone  in modo da venire tagliato dal piano di luce uscente dal proiettore, osserveremo che saranno illuminati i punti di ogni faccia che sono colpiti dalla luce. Così si potrà avere il quadrato se il piano  è perpendicolare a una faccia ( fig.4); inclinando il piano di luce si potrà avere un rettangolo ( fig. 5). Se il piano è perpendicolare a una diagonale del cubo si può ottenere un triangolo equilatero, ad esempio il triangolo equilatero massimo ( fig. 6); spostando il piano parallelamente a se stesso verso un vertice si  potranno vedere dei triangoli equilateri sempre più piccoli.

Se poi il piano il piano viene spostato, sempre parallelamente a se stesso ma verso il vertice opposto, si vedrà disegnarsi sul cubo non più un triangolo ma un esagono, dato che vengono ad essere colpiti dalla luce non più tre ma sei spigoli del cubo. In particolare, quando il piano passa per i punti medi di certi spigoli ( fig. 7), si otterrà un esagono regolare.

E’ interessante – e usciamo qui fuori dal campo della geometria elementare – riconoscere la continuità nel passaggio dall’una all’altra figura piana, dal triangolo all’esagono; bisogna riportarsi al confronto fra due figure, la figura tagliata nel piano dalle facce( in senso stretto) del cubo e la figura che è tagliata sullo stesso piano dai piani a cui appartengono quelle facce (l’esalatero semplice, secondo linguaggio della geometria proiettiva).
Si vede così come, anche nello studio della più semplice figura solida, si possano trovare questioni – le sezioni del cubo – su cui di solito non ci si intrattiene, ma che hanno una notevole importanza nei rapporti fra geometria delle spazio e quella del piano. [da Didattica della matematica di Emma Castelnuovo. La Nuova Italia Editrice, 1963]