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Coefficienti e radici di un’equazione

Il tema delle relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione algebrica. Spunti di riflessione in vista della preparazione ai concorsi a cattedre a base di test.

In matematica l’errore e l’ambiguità nelle espressioni e nei modi di dire sono sempre dietro l’angolo.

Ecco un quesito che può essere un buon punto di partenza per riflettere sulle formulazioni più adeguate all’obiettivo del quesito stesso:

Si consideri l’equazione x3 -2x2+ kx + 1 – k = 0 dove k è un parametro reale.
Quanto vale la somma delle sue radici?   A) 2     B) 1      C) k      D)1-k

Il quesito è interessante per più ragioni. Lo è per l’argomento delle equazioni algebriche che è centrale nell’insegnamento dell’algebra e lo è perché chiama in causa le relazioni fra i coefficienti e le radici dell’equazione da sempre dotate di grande pregnanza didattica. Lo è anche per la sua storia essendo stato uno degli item del test preselettivo per l’ammissione al TFA ( la prima esperienza del 2012) e tra quelli annullati perché ambigui. Ecco la motivazione fornita dai matematici che se ne occuparono:

La formulazione della domanda è incompleta e di per sé ambigua, infatti: non è specificato in quale campo (reale o complesso) debbano essere cercate le radici (il polinomio è a coefficienti reali e lo stesso parametro k è esplicitamente richiesto reale, pertanto l’eventualità che il campo da considerare sia il campo reale è concretamente possibile). Ma:

  • Se si considerano le radici reali, la risposta dipende da k ( per k>5/4 c’è solo la radice reale x=1, per cui la somma è uguale a 1; per k=5/4 ci sono la radice x=1 e la radice x=1/2, per cui la somma è uguale a 2 purché la radice ½ si conti con la sua molteplicità; per k<5/4 ci sono tre radici reali la cui somma è uguale a 2);
  • Se invece si considerano le radici complesse, la somma è sempre 2 purché si contino con la dovuta molteplicità nel caso k=5/4. Tenendo conto che la domanda deve avere una e una sola risposta corretta, si può tuttavia risolvere l’ambiguità e concludere che il campo da considerare sia quello complesso e che l’opzione da indicare sia la A).

In effetti la motivazione può destare qualche perplessità se non altro nell’ambigua conclusione di una ambiguità che si può risolvere. Chi la risolve?

Una forte analogia di ragionamento con quanto fin qui detto presenta un altro quesito.

Figurava nel tema del concorso a cattedre 2013. È il seguente:

Si mostri che per ogni polinomio P(x) di grado dispari e per ogni numero reale k esiste almeno una soluzione reale x dell’equazione P(x) = k.

Non c’è un’ambiguità, ma un errore. L’affermazione è falsa. Si asserisce “per ogni polinomio”. Ma non è vero! La proposizione è vera solo se il polinomio P(x) è a coefficienti reali. Un  errore  può  sempre  capitare.

Quel che sorprende è però anche qua il ragionamento seguito per istruire su come valutare il lavoro dei candidati. Ecco la nota inviata alle commissioni giudicatrici operanti in tutta Italia:

… L’enunciato di cui si propone la dimostrazione nel primo punto del quesito è classico per i polinomi a coefficienti reali ed è invece banalmente falso per polinomi a coefficienti complessi. Il candidato avrebbe dovuto quindi comprendere dal contesto che il polinomio P si deve assumere a coefficienti reali……

Il candidato avrebbe dovuto…!

Il testo completo del “primo quesito” fu il seguente:

«Si mostri che per ogni polinomio P(x) di grado dispari e per ogni numero reale k esiste almeno una soluzione reale x dell’equazione P(x) = k. Si disegni poi il grafico qualitativo della funzione f(x) = 4x5 − 5x, definita sull’insieme dei numeri reali R, e si stabilisca il numero degli elementi dell’insieme {x∈ R | f (x) = k}, in dipendenza dal valore di k∈ R. Utilizzando le proprietà delle funzioni continue e delle funzioni derivabili si diano motivazioni rigorose per le affermazioni che vengono fatte».

Quanto sopra è un pezzo di storia della matematica in Italia.

Come tale è bene conservarne memoria specie in questo periodo in cui le discussioni su formazione dei docenti, abilitazioni e concorsi a cattedre sono al centro dell’attenzione pubblica. Anzi, pare che tutti i previsti concorsi a cattedre, ordinari e straordinari, saranno a base di test a scelta multipla per le cui formulazioni l’esperienza passata può essere maestra.

In considerazione di ciò si riportano altri quesiti che fanno riferimento al tema delle relazioni fra coefficienti e radici di un’equazione algebrica:

  • Se  xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0  è un’equazione a coefficienti reali,  allora:

A) a1 è l’opposto della somma delle radici
B) a1 è la somma delle radici
C) a1 è il prodotto delle radici
D) a1 è l’opposto del prodotto delle radici

  • Si consideri l’equazione: ax3+2bx-3a+1=0, dove a, b sono parametri reali con a≠0. Sapendo che ammette tre soluzioni reali, una delle quali è 1, quanto vale la somma delle altre due radici?

A) -1
B) 1
C) 1-a
D) a-1

  • Quale dei seguenti numeri non è una soluzione dell’equazione: x4-2x3-6x2+10x-3=0?

A) 2
B) 3
C) -1+i
D) -1-i

  • E’ data  l’equazione a0xn+a1xn-1+………+an-1x+an=0 dove a0, a1, …..an sono interi e a0 e  an sono diversi da zero. Se l’equazione ammette la radice razionale p/q allora:

A) p divide an e q divide a0
B) p e q sono divisori di an
C) p e q sono divisori di a0
D) p divide a0 e q divide an

  • Si consideri l’equazione a coefficienti reali xn+a1xn-1+……………..an-1x+an=0. Quale delle seguenti è falsa:

A) an è il prodotto delle radici
B) a3 è l’opposto della somma dei prodotti delle radici tre a tre
C) a2 è la somma dei prodotti due a due delle radici
D) a1 è l’opposto della somma delle radici

  • Se  xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0  è un’equazione a coefficienti reali,  allora:

A) a1 è l’opposto della somma delle radici
B) a1 è la somma delle radici
C) a1 è il prodotto delle radici
D) a1 è l’opposto del prodotto delle radici

  • Se a0xn+a1xn-1+……………..an-1x+an=0 è un’equazione a coefficienti reali che ammette le radici α1, α2,…, αn , quali delle seguenti è falsa?

A) α1α2…αn = an-1/a0
B) α12+…+αn = -a1/a0
C) α1α2+ α2α3+…+αn-1 αn = a2/a0
D) α1 α2….αn = (-1)n an/a0

 

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