Metodi grafici agli esami di Stato

Dal grafico come esito al grafico come strumento di indagine e controllo. Evoluzione di pratiche e significati nelle tracce della maturità.

«Il grafico non è più l’obiettivo finale di un percorso analitico, come lo è stato a lungo nella tradizione scolastica (lo studio di funzione come prova scritta alla maturità scientifica). Può diventare piuttosto uno strumento di verifica e consolidamento».

(“Il grafico prima o dopo?” – Emilio Ambrisi – Matmedia)

La diffusione di software con i quali ormai si può associare facilmente un grafico ad una espressione analitica, ripropone un dibattito epistemologico e didattico, portato avanti per alcuni decenni e sollecitato anche da alcune innovazioni nelle prove scritte della maturità scientifica.

L’importanza della costruzione di un grafico, prodotto conclusivo fine a se stesso, cominciò a vacillare negli anni ’90, con il consolidarsi di una didattica laboratoriale, al passo con il progresso tecnologico e finalizzata soprattutto a fornire allo studente opportuni strumenti di indagine. In matematica venivano privilegiati, ad esempio, i metodi grafici per la discussione di equazioni parametriche o per la risoluzione di equazioni e disequazioni, mentre nel laboratorio di Fisica si proponeva l’analisi dei dati e la ricerca di una curva di fit.

Un esempio significativo possiamo trovarlo nelle tracce dell’esame di maturità del 1998. Nel terzo problema del corso di ordinamento si chiede di studiare una funzione trigonometrica lineare, analoga a un esempio dell’articolo sopra citato.
Il grafico costruito dopo lo studio analitico (o come somma di sinusoidi) diventa strumento di indagine. La discussione dell’esistenza e della molteplicità delle soluzioni di un’equazione parametrica approfondisce e arricchisce la risoluzione del problema geometrico iniziale.

1997–98. Corso di ordinamento. Problema 3 – Punti a-b-c

Un cateto di un triangolo rettangolo è lungo \( 2a \), dove \( a \) è una lunghezza nota, e l’angolo acuto adiacente ad esso ha coseno uguale a \(\frac{4}{5} \).

a) Condotta per il vertice dell’angolo retto una retta \( t \) che non attraversa il triangolo e indicata con \( x \) la misura dell’angolo che questa retta forma col cateto maggiore, esprimere in funzione di \( x \) il volume \( V(x) \) del solido generato dal triangolo quando compie una rotazione completa intorno alla retta \( t \).
b) Verificato che risulta
\[
V(x) = \frac{1}{2}\,\pi a^3 \left( 4 \sin x + 3 \cos x \right),
\] con \( x \) appartenente ad un determinato intervallo, studiare la funzione \( V(x) \) nell’intervallo stabilito e disegnarne il grafico in un piano cartesiano.
c) Utilizzare il grafico disegnato per determinare \( x \) in modo che il volume del solido di rotazione descritto sopra sia \( k \pi a^3 \), dove \( k \) è un parametro reale assegnato.

Nella formulazione della traccia si intravede il passaggio dalla “consegna” tradizionale
«Studiare la funzione e tracciarne il grafico» a quella innovativa
«Usa il grafico per controllare, interpretare o discutere i risultati dello studio analitico».

Il desiderio di innovazione doveva confrontarsi con una certa resistenza al cambiamento o, per lo meno, con una comprensibile cautela nell’accettare una vera e propria inversione di paradigma.
Chi riteneva che i metodi grafici fossero meno rigorosi o meno efficaci di quelli analitici, sollevava solitamente le seguenti obiezioni:

1. L’approssimazione e le eventuali ambiguità del disegno
2. La perdita del formalismo: il metodo algebrico obbligava a gestire sistemi di disequazioni, a volte complessi, rafforzando l’abilità nel gestire i calcoli algebrici
3. Impoverimento della natura delle dimostrazioni: dall’esatta scrittura simbolica a semplici considerazioni di tipo euristico
4. Confusione tra supporto visivo per una determinata proprietà e dimostrazione della stessa

Lo studio di funzione, vera e propria icona della maturità scientifica, manteneva comunque il suo ruolo cruciale per testare le competenze dello studente nell’ambito dell’Analisi.
Veniva, però, criticata la tendenza alla ripetitività dei metodi, ridotti spesso ad algoritmi paragonabili agli schemi delle discussioni “tartinviliane”.
Si può riscontrare, senz’altro, maggiore versatilità nelle tracce delle prove d’esame della Riforma Berlinguer, articolate in problemi e quesiti.

Degno di nota è il problema assegnato ai corsi sperimentali nel 2010, molto spesso citato come decisivo segnale di cambiamento.

L’incipit era sicuramente insolito:
«Nella figura che segue è riportato il grafico di \( g(x) \) per \( -2 \le x \le 5 \), dove \( g \) è la derivata di una certa funzione \( f \)…».
Dal grafico si deve risalire all’espressione analitica della funzione \( g \) e dedurre, inoltre, alcune proprietà della sua derivata e di una sua primitiva.

Problema 1 – PNI ordinaria 2010

Lo studente deve passare con disinvoltura dal registro grafico a quello analitico e viceversa, calcolando e argomentando. Soprattutto, però, deve «saper vedere» gli estremi relativi di f tra gli zeri della funzione g e negli estremi relativi di g riconoscere i flessi di f. Deve poi tradurre in un’immagine (il grafico qualitativo di f) tutte le informazioni raccolte.

Nella sessione ordinaria dell’anno successivo, un quesito basato sul rapporto tra il grafico di una funzione e quello delle sue derivate compare nelle prove di tutti e tre gli indirizzi (ordinamento, PNI, liceo della Comunicazione).

Anno 2011 – Quesito 10 – Ordinamento, PNI, Comunicazione

Nella figura sottostante, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione \( f \), un altro lo è della funzione derivata \( f' \) e l’altro ancora di \( f'' \).
Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Si motivi la risposta.

Un quesito molto interessante in cui la scelta multipla non si limita a selezionare una risposta corretta, ma stimola un controllo globale del ragionamento:

• Il grafico contrassegnato con “I” rappresenta una funzione crescente. Pertanto, la sua derivata non può avere punti di ordinata negativa. Poiché questo non accade per nessuno degli altri due grafici, il primo grafico rappresenta necessariamente \( f'' \).
• Poiché dal segno della derivata seconda dipende la concavità della funzione \( f \), possiamo dedurre che quest’ultima è concava per \( x < 0 \), convessa per \( x > 0 \) e deve presentare un punto di flesso nell’origine: il suo grafico coincide con quello contrassegnato “III”. Per ulteriore conferma si può controllare la coerenza tra la sua monotonia e il segno di “II”.

La risposta esatta è la D.

Problemi o quesiti analoghi sono stati assegnati negli anni seguenti. Si inaugurava, pertanto, un filone di tipologie di quesiti d’esame che, come spesso accade, orientarono la progettazione didattica e i criteri di valutazione.

Nella sessione ordinaria del 2014, il secondo problema del Liceo della Comunicazione fornisce, invece, un esempio in cui lo studio analitico e la costruzione del grafico di una funzione, pur non essendo esplicitamente richiesti, riescono a dare maggiore chiarezza ed efficacia all’esposizione di
un metodo di approssimazione numerica.

Problema 2 – Sessione ordinaria 2014 – Liceo della Comunicazione (punti 1–2)

Sia
\[
f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x - 12 .
\] 1) Si dimostri che l’equazione \( f(x) = 0 \) ha una sola radice \( \alpha \) tale che \( 1 < \alpha < 2 \).
Si verifichi che l’espressione
\[
x = \sqrt{\frac{4(3 - x)}{3 + x}}
\] equivale a \( f(x) = 0 \).
2) Posto \( x_0 = 1{,}3 \) si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice,
\( x_1, x_2, x_3, \ldots \) ove è
\[
x_{n+1} = \sqrt{\frac{4(3 - x_n)}{3 + x_n}} .
\] Cosa si può osservare? Si può congetturare che \( x_n \), al crescere di \( n \), approssimi sempre meglio il valore di \( \alpha \)? In che modo? Con quali considerazioni?

Dopo aver risolto i primi due punti osserviamo che viene suggerito un metodo di approssimazione numerica per determinare la radice \( \alpha \), considerata come punto unito, o punto fisso, della funzione
\[
F(x) = \sqrt{\frac{4(3 - x)}{3 + x}} .
\] Si tratta del metodo delle approssimazioni successive (o del punto fisso). Non è richiesto alcun approfondimento concettuale ma solo l’esecuzione dell’algoritmo e una congettura sulla sua convergenza.

A tal fine è sicuramente conveniente studiare la funzione \( F(x) \), tracciarne il grafico e tradurre in immagine i risultati numerici.

Applicando l’algoritmo iterativo si trovano valori approssimati (alternativamente per eccesso e per difetto) della radice \( \alpha \).
Osservando che deve essere \( \alpha = F(\alpha) \), può essere accettato il valore di \( x_3 \), con una approssimazione su due cifre decimali.

\( x_0 = 1{,}30 \),   \( F(x_0) = 1{,}26 \),   scarto \( = 0{,}04 \)
\( x_1 = 1{,}26 \),   \( F(x_1) = 1{,}28 \),   scarto \( = -0{,}02 \)
\( x_2 = 1{,}28 \),   \( F(x_2) = 1{,}27 \),   scarto \( = 0{,}01 \)
\( x_3 = 1{,}27 \),   \( F(x_3) = 1{,}27 \),   scarto \( = -0{,}01 \)

Graficamente, partendo dal punto \( B(1{,}3; 1{,}26) \), la parallela condotta da \( B \) all’asse \( x \) incontra la retta \( r \) nel punto \( C(1{,}26; 1{,}26) \).
La parallela condotta da \( C \) all’asse \( y \) incontra la curva \( \Gamma \) nel punto \( D(1{,}26; 1{,}28) \).
Procedendo in modo analogo si trovano alternativamente punti di \( \Gamma \) e punti di \( r \) sempre più prossimi al punto \( A \) (punto fisso attrattivo). La convergenza è favorita dal grafico della curva, decrescente con pendenza “lieve” nell’intorno del punto \( A \).

La condizione di convergenza \( |F'(\alpha)| < 1 \) può essere verificata, eventualmente, con l’uso di opportuni software.

L’inversione di paradigma (dal grafico all’espressione analitica della funzione) fu poi ratificata nel Quadro di Mondrian, il Syllabus essenzializzato del 2015, sottolineando la valenza didattica di entrambi gli approcci. L’approccio tradizionale privilegia la formalizzazione e il calcolo, il secondo l’osservazione, l’intuizione e l’argomentazione.

Un’ulteriore conferma si riscontra nei Quadri di Riferimento emanati dal MIUR nel 2018 e tuttora validi per la formulazione della seconda prova scritta.

Anche le prove elaborate dai Consigli di classe nel 2022, di cui il Report di Matmedia presenta un’interessante raccolta, testimoniano il consolidamento dei metodi grafici nella didattica.

Dall’anno scolastico 2014–2015 (anno in cui andarono a regime le classi della Riforma Gelmini), fino al 2018–19 (anno che precede l’emergenza sanitaria), la progettazione didattica fu indirizzata verso le applicazioni alla “realtà” e verso l’interdisciplinarità Matematica–Fisica.

I due esperimenti, portati avanti tra molte perplessità soprattutto per l’enfasi sulla “contestualizzazione” nella formulazione dei problemi, rafforzarono l’abitudine all’utilizzo delle figure nelle tracce, generalmente come supporto per la modellizzazione.

Per quanto riguarda i collegamenti con la Fisica, ricordiamo il quesito 6 della prova “mista” del 2019, degno di nota per il carattere interdisciplinare. La formulazione riesce a integrare due argomenti specifici di ciascuna disciplina: la relazione che intercorre tra il grafico di una funzione e quello della sua derivata e il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, con particolare attenzione al significato della legge di Faraday–Neumann–Lenz.

L’interpretazione dell’immagine risulta esaustiva per alcune proprietà di carattere qualitativo, come il segno e la monotonia delle funzioni rappresentate. Per il calcolo dei valori medi della corrente è necessario fare delle approssimazioni o semplificazioni circa la natura delle curve.

Anno 2019 – Prova mista – Quesito 6

Una spira di rame, di resistenza \( R = 4{,}0\,\mathrm{m\Omega} \), racchiude un’area di \( 30\,\mathrm{cm}^2 \) ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La componente del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.

Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta.

Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:

a) da \( 0{,}0\,\mathrm{ms} \) a \( 3{,}0\,\mathrm{ms} \);
b) da \( 3{,}0\,\mathrm{ms} \) a \( 5{,}0\,\mathrm{ms} \);
c) da \( 5{,}0\,\mathrm{ms} \) a \( 10\,\mathrm{ms} \).

Osservazioni conclusive

Il ricorso al grafico non dovrebbe essere una scorciatoia per alleggerire la lettura del testo, bensì uno strumento di esplorazione e di controllo. Lo studente è invitato a fare congetture, la cui validità deve essere sostenuta da opportuni argomenti teorici o verifiche di tipo analitico.

Assegnato il grafico di una funzione, si possono formulare le richieste secondo i seguenti obiettivi.

Nei prossimi giorni saranno rese disponibili le soluzioni di:

• Problema 3 – Corso di ordinamento – ordinaria 1998
• Problema 1 – PNI – ordinaria 2010
• Problema 2 – Liceo della Comunicazione – ordinaria 2014
• Quesito 6 – ordinaria 2019