La solidarietà locale-globale

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La solidarietà locale-globale

La solidarietà locale-globale stabilita per i polinomi dalla formula di Taylor. Il termine solidarietà potrebbe aver creato alcune difficoltà di in

La solidarietà locale-globale stabilita per i polinomi dalla formula di Taylor.

Il termine solidarietà potrebbe aver creato alcune difficoltà di interpretazione. In effetti l’espressione utilizzata nel quesito del concorso è abbastanza ricorrente nella letteratura matematica. Si citano i seguenti:

G.Geymonat, Lezioni di matematica, pagg.225 e399, Levrotto&Bella, Torino, 1981:

«Siccome la nozione di derivata ha carattere locale la formula di Taylor esprime il fatto molto importante che per i polinomi la determinazione locale implica quella globale: non si può perturbare un polinomio nell’intorno di un punto senza perturbarlo dappertutto. Tale fatto è in netto contrasto con quello che avviene per le usuali funzioni differenziabili: esse possono coincidere localmente, ma non dappertutto.»………………………………………………………………

La formula [di Taylor] ha grandissima importanza nell’analisi……se f(x) è un polinomio di grado £ n-1 allora f(n)(x)=0 e quindi la [formula di Taylor] è come si suol dire, esatta; essa permette, noto il valore del polinomio e delle sue derivate fino all’ordine n-1 in x0, di calcolare esattamente il valore del polinomio in ogni punto x (si tratta di una nuova forma della solidarietà locale/globale dei polinomi…..). Questo fatto non è più vero per una funzione qualunque poiché nella [formula di Taylor] compare il resto…»

Jean Petitot, Locale/globale, in Enciclopedia Einaudi, vol.8, pag.440 :

«La formula di Taylor esprime il seguente fatto molto importante: per i polinomi, la determinazione locale implica quella globale. Per i polinomi, e più in generale per gli insiemi algebrici definiti da polinomi, esiste una solidarietà essenziale tra locale e globale. Si potrebbe dire che i polinomi manifestano un principio translocale “d’azione a distanza” : non si può perturbare un polinomio in un punto senza modificarlo dappertutto»

 

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