Matematica 2025. La soluzione del laborioso Problema 2 – quello della frase attribuita con troppa disinvoltura a Platone e che non c’entrava nulla con la traccia
«La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l’infinito» – attribuita a Platone
I grafici \( \gamma_1 \) e \( \gamma_2 \) rappresentano, rispettivamente, le funzioni \( f \) e \( g \), definite su \( \mathbb{R} \), le cui espressioni analitiche sono:
\[
f(x) = p(x) \cdot e^{p(x)}, \quad g(x) = q(x) \cdot e^{p(x)}
\]
dove \( p(x) \) e \( q(x) \) sono polinomi di secondo grado.
a) Determinare i polinomi \( p(x) \) e \( q(x) \) utilizzando le informazioni deducibili dai grafici in figura, considerando che
\[
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
è l’ascissa di un punto stazionario di \( f \) e che \( -\varphi \), ascissa del punto A, è uno zero di \( g \).
b) Posto che \( p(x) = x - x^2 \), studiare la funzione \( f \) specificando l’equazione dell’asintoto, le ascisse dei punti stazionari e di flesso. Verificare che la retta di equazione \( x = \frac{1}{2} \) è asse di simmetria per \( \gamma_1 \). Determinare l’insieme immagine di \( f \) e, al variare del parametro reale \( k \), il numero di soluzioni dell’equazione \( f(x) = k \).
c) Stabilito altresì che \( q(x) = 1 - x - x^2 \), verificare che
\[
\frac{1}{\varphi}
\]
è un ulteriore zero di \( g \) e che il triangolo \( ABC \) è rettangolo. Dimostrare che \( \gamma_1 \) e \( \gamma_2 \) hanno un unico punto di intersezione, del quale si chiedono le coordinate. Considerati su \( \gamma_1 \) e \( \gamma_2 \), rispettivamente, i punti \( P_1 \) e \( P_2 \) aventi uguale ascissa \( x \geq \frac{1}{2} \), calcolare la lunghezza massima che può assumere il segmento \( P_1P_2 \).
d) Calcolare l’area della regione limitata \( R \) compresa tra \( \gamma_1 \), \( \gamma_2 \) e l’asse delle ordinate. Individuare, successivamente, il valore di \( t \geq \frac{1}{2} \) affinché la retta \( x = t \) delimiti con i due grafici una regione \( R' \) equivalente a \( R \).
Ecco una soluzione del problema
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