Marx è attuale e per conoscerlo a fondo è necessario conoscere anche il Marx matematico. Le sue letture e i suoi Manoscritti matematici Sul concetto di funzione derivata e Sul differenziale.
Karl Marx (1818-1883)
Premessa
In Italia di fronte alle ennesime morti di operai sul lavoro il Presidente della Repubblica Sergio Mattarella ha dichiarato:
“Non ci sono più parole adeguate per esprimere l’allarme e l’angoscia per gli incidenti che colpiscono chi sta lavorando, per insufficienza della sicurezza per chi lavora.”
Sul quotidiano la Repubblica del 26 ottobre 2024 nell’articolo “In nome della classe operaia” Massimo Giannini ricorda tanti altri accorati interventi del Presidente sul medesimo tema, ma constata purtroppo che, nonostante il tragico elenco dei lavoratori deceduti, ai mancati controlli e reiterati incidenti si aggiunge “la macelleria sociale sui salari continuata con gioia feroce”, mentre l’opinione pubblica resta indifferente.
Tutti dovrebbero tener presente ciò che il lavoro degli operai continua a produrre, ossia ciò che assicura a ciascuno la fruizione di quanto è necessario per la vita. Si dà per scontato che possiamo godere di abitazioni, automobili, beni di consumo, e quant’altro, senza che ci venga in mente di dire grazie al lavoro degli operai. Basta guardarsi intorno con un minimo di attenzione per rendersi conto di ciò che il lavoro degli operai assicura. È sul lavoro degli operai che si fonda la storia dell’umanità. Ce lo ricorda Bertolt Brecht in una sua lirica:
“Tebe dalle Sette Porte, chi la costruì?
Ci sono i nomi dei re, dentro i libri.
Son stati i re a strascicarli, quei blocchi di pietra? […]”
Finché non sarà stata resa giustizia alla classe operaia, Karl Marx continuerà ad essere attuale.
Non si tratta qui di sostenere un’ideologia, né di ignorare le smentite storiche dei suoi sviluppi, né di assumere una posizione partitica, ma si tratta di rivendicare su un piano umano i diritti di chi lavora manualmente. Chi esercita un lavoro intellettuale non dovrebbe astenersi dal rivendicarli per gli operai, indipendentemente dal suo credo politico.
Nell’enciclica pontificia Centesimus annus (1991) si legge:
“Nella società occidentale è stato superato lo sfruttamento, almeno nelle forme analizzate e descritte da Carlo Marx.”
Sorvolando sul fatto che il nome Karl italianizzato in Carlo suona un po’ strano, si può osservare che, al contrario, il capitalismo sussiste in forme diverse, ma ancor più pressanti, così come in forme diverse, ma ancor più mortificanti, sussiste lo sfruttamento degli operai.
A tal proposito scriveva J.C. Quiniou già in Marxismo e informatica, Editori Riuniti, 1972 (Marxisme et informatique, Editions Sociales, Paris 1971):
“[…] La borghesia, padrona dell’ideologia dominante, <<manipola>> i suoi soggetti con i calcolatori come potrebbe fare […] uno stregone per consolidare il suo potere presso gli aborigeni d’Australia […] Qualunque sia la sua forma […] lo Stato moderno è una macchina capitalistica: più forze produttive fa passare sotto il suo potere, più individui sfrutta. I rapporti di produzione capitalistici non sono modificati, sono spinti fino al loro eccesso …”
Ogni economista serio, scevro da pregiudizi ideologici, non può non confrontarsi con questa realtà. Non dimentichiamo che a Marx si deve storicamente l’uso più nobile della matematica, da lui indirizzata a concorrere alla creazione di un mondo in cui agli operai fosse assicurato un giusto riconoscimento del loro apporto alla società in un contesto tale da non esporli continuamente agli stenti e alla morte.
I Manoscritti matematici di Karl Marx
È davvero singolare che nel dibattito su Marx il suo pensiero sia stato preso in esame generalmente nei suoi aspetti filosofici, sociologici, politici, economici, senza considerarne col debito rilievo gli aspetti matematici, in mancanza dei quali Das Kapital non avrebbe potuto essere concepito, scritto, pubblicato. A partire dal 1968 il rapporto fra matematica ed economia presente in Das Kapital non può non essere ulteriormente approfondito: è di quell’anno la pubblicazione del volume di 640 pagine Математические рукописи (Matematičeskie rukopisi), Nausa, Mosca (ma la prima traduzione russa dal tedesco risale al 1933). Si tratta dei Manoscritti matematici, che Augusto Ponzio ha tradotto in parte dal tedesco e sono stati pubblicati in una preziosa edizione italiana, la prima, dalla Casa Editrice Spirali nel 2005. I testi Sul concetto di funzione derivata e Sul differenziale, che risalgono al 1881, furono scritti per Friedrich Engels, il quale ne apprezzò gli sviluppi esplicativi e polemici rispetto alla concezione hegeliana delle variabili come fondamento essenziale della differenziazione (il riferimento era alla trattazione di Georg Wilhelm Friedrich Hegel nella sua Logica).
Ciò che interessa particolarmente a Marx è il calcolo differenziale, da lui studiato anche nello sviluppo storico del metodo attraverso le fasi mistica (Leibniz), razionalista (Eulero) e algebrica (Lagrange).
Ponzio riferisce con estrema cura sia sulle caratteristiche dei manoscritti di Marx che sui suoi scambi epistolari con Engels, dai quali risulta a un certo punto che Marx, non senza nutrire un particolare interesse per la matematica pura, pervenne gradualmente a concepire sempre più strettamente i rapporti fra matematica ed economia, come risulta, ad esempio, dal riconoscimento dell’utilità del calcolo differenziale per studiare la fluttuazione dei prezzi. Inutile dire che la teoria del plusvalore, ovvero di una componente dello sfruttamento della forza lavoro in regime capitalistico, venne elaborata su salde basi matematiche.
Il volume in esame, dopo la presentazione e la messa in evidenza del rapporto fra matematica, dialettica ed economia politica in Marx ad opera di Ponzio, si articola in Due manoscritti sul calcolo differenziale (Sul concetto di funzione derivata e Sul differenziale); Abbozzi e aggiunte concernenti il lavoro sul differenziale (Primo, secondo e terzo abbozzo con Alcune aggiunte; Sulla storia del calcolo differenziale (Primi abbozzi, Il corso dello sviluppo storico, Continuazione degli abbozzi); Il teorema di Taylor, il teorema di Mac Laurin e la teoria di Lagrange delle funzioni derivate; Aggiunte al manoscritto Sulla storia del calcolo differenziale e analisi del metodo di d’Alembert (Sull’ambiguità dei termini “limite” e “valore-limite”; Raffronto fra il metodo di d’Alembert e il metodo algebrico; Analisi del metodo di d’Alembert attraverso un ulteriore esempio).
Paolo Simonetti nell’articolo Karl Marx il matematico: la dialettica nel calcolo differenziale illustra così l’idea di partenza presente nei Manoscritti matematici:
“L’autore inizia illustrando la sua idea di funzione derivata, partendo dal caso più semplice: la mappa reale, a valori reali, che alla variabile x associa il valore ax, dove a è un numero reale fissato. Innanzitutto, introduce esplicitamente l’approccio dialettico all’operazione di derivata: fissa due coppie di variabili, (x,y) e (x1,y1), e osserva che calcolare le differenze y1-y e x1-x, per poi farle tendere a zero, porta solo all’identità 0=0, e a nient’altro di interessante. Come dice lui stesso: «L’intera difficoltà nella comprensione di come agisce la derivazione (come quando si guarda alla negazione della negazione) sta nel vedere in quale modo differisce da una procedura così semplice come quella appena descritta, permettendo così di giungere a risultati reali.»
Riprende allora l’espressione y1-y = a(x1-x) e divide entrambi i membri per x1-x, quando ancora questa differenza è un numero finito diverso da zero. Quando ora x1 tende a x, si arriva a 0/0=a. «Siccome nell’espressione 0/0 ogni traccia della sua origine e del suo significato è sparita, possiamo rimpiazzare tale espressione con dy/dx».
Per Marx, in effetti, questa quantità rientra all’interno del processo dialettico e non ha alcun significato in sé: è semplicemente, come ebbe a dire poi in scritti successivi, un’equivalenza che il matematico pone, un modo di chiamare la variabile a. Proseguendo nella lettura del testo si trova infatti: «Questo profondo credo di qualche matematico, per cui dy e dx sono quantità infinitamente piccole ma non nulle, è una chimera». Le derivate di ordine superiore divengono quindi solo “un registro” di funzioni, una tabella in cui si annota qual è la funzione madre e quali le derivate.
In altre parole, Marx in questo modo ritiene di evitare l’imbarazzo di chiedersi quale sia il significato di far passare un rapporto di due infinitesimi attraverso un ulteriore grado di “infinitesimalità”. Nel leggere allora le equazioni differenziali, contenenti in generale delle derivate di ordine pari o superiore al primo, Marx raccomanda di vedere le espressioni dy/dx solo come simboli, come nomi da dare alle funzioni derivate. Per capirci, se la funzione di partenza è y=x3, allora la quantità realmente esistente è 3x2, mentre 0/0 o dy/dx sono solo immagini ombra (“Doppelgänger“, come le definisce nella pubblicazione successiva, Sul differenziale) di tale quantità.”
Pietro Greco, giornalista scientifico, nell’articolo “Marx, il matematico che non ti aspetti” (2018) ribadisce che erano obiettivi di Marx “non solo fondare l’economia politica sulla matematica, ma anche fondare su solide basi la matematica stessa”, ossia, in particolare, “fondare il calcolo differenziale su solide basi concettuali” alla stregua di Augustin Cauchy e Karl Weierstrass e andando oltre Jean Le Rond d’Alembert e Joseph Louis Lagrange. Bisogna altresì ricordare con Lucio Lombardo Radice che nell’ultimo periodo della sua vita Marx si dedicò ad approfondire lo studio del calcolo infinitesimale contro ogni tentativo di contaminare misticismo e matematica, tentativo che vedeva anche in Engels, come si evince dagli scambi di vedute fra i due nell’epistolario. Inoltre, non è da dimenticare che Marx perseguì gli intenti di delineare una storia della matematica e di portare avanti una ricerca dei fondamenti della matematica.
Marx umanista
Eppure, in origine prevaleva in Marx nei confronti della matematica un atteggiamento ironico, se non satirico, evidente nella poesia giovanile Saggezza di matematici:
“Tutto a segni abbiam ridotto,
della nostra ragione un modello di calcolo abbiamo fatto,
se Dio è un punto, allora non è un cilindro,
se state ritti sulla testa, non sedete sul …
Se a è l’amato e b l’amata,
allora la testa ci scommetto
che se a+b voi allineate
proprio una coppia di amanti otterrete.
Il mondo con linee hanno misurato,
mai lo spirito hanno enucleato,
ad eliminare con a e b le contese
ai tribunali … si risparmierebbero le spese!”
Poiché Marx non giunse subito ad essere matematico, non è inopportuna a questo punto una digressione.
Per conoscerlo più a fondo, è necessario conoscere la sua biblioteca, alla quale S.S. Prawer ha dedicato un importante studio dal titolo Karl Marx and World Literature, pubblicato nel 1976 per i tipi della Oxford University Press, tradotto in italiano col titolo La biblioteca di Marx per le edizioni Garzanti nel 1978. In origine gli interessi di Marx si rivolsero alla letteratura. Fra le sue letture passate in rassegna da Prawer figurano anche opere dell’antichità come quelle di Omero, Eschilo, Sofocle, Platone, Aristotele, Tucidide, Plutarco, Lucrezio, Virgilio, Ovidio, Cicerone, Tacito, Agostino, senza dimenticare la Bibbia, né per l’età medioevale la Commedia di Dante. Non a caso la sua tesi di laurea fu Differenza tra la filosofia della natura di Democrito e quella di Epicuro.
Nel periodo in cui esercitò il giornalismo citava autori moderni come Cervantes, Shakespeare, Molière, Goethe. I suoi interessi poi cominciarono a spostarsi verso la filosofia, il diritto, la politica nel solco di Hegel, dal quale cominciò a prendere le distanze, come cominciò a prenderle anche da Kant, considerandolo filosofo di quella borghesia capitalistica intenta ad arricchirsi su scala mondiale con lo sfruttamento della classe operaia. Prawer documenta nei dettagli come nemmeno nel Capitale Marx si astenne dall’inserire riferimenti letterari e sottolinea che nell’arco della sua esistenza continuò a sentire la suggestione del mito: l’eroe mitologico a lui più congeniale fu Prometeo, che rubò il fuoco agli dèi per donarlo agli esseri umani.
Le letture matematiche di Marx
Nell’aver dato un’idea dell’opera di Prawer, notiamo che da essa viene fuori soltanto l’aspetto del Marx umanista. Pertanto, è necessario integrarla con i riferimenti bibliografici forniti da Ponzio alle letture matematiche di Marx. Fra queste figurano: Anicio Manlio Torquato Severino Boezio, De institutione aritmeticae libri duo; D’Alembert, Traité de l’équilibre et du mouvement des fluide; Euler, L., Institutiones calculi differentialis cum ejus usu in analysi finitorum ac doctrina serierum; Lacroix, S.F., Traité du calcul différentiel et du calcul intégral; Lagrange, J. L., Théorie des fonctions analytiques; Newton, I., Philosophiae naturalis principia mathematica; Newton, I., Aritmetica universalis, sive de compositione et risolutione arithmetica liber; Poppe, J.H.M., Geschichte der Mathematik seit der ältesten bis auf die neueste Zeit; Wood, J., Elements of Algebra.
Ponzio ribadisce che nel Marx dei Manoscritti matematici risalta un forte interesse per la matematica pura in rapporto con la dialettica. Sulla scorta di Lucio Lombardo Radice osserva che Marx intese superare il misticismo leibniziano sostituendo ad esso una nuova visione del simbolismo dei rapporti matematici e ritenendo di riconoscere anche nel calcolo differenziale, oltre che nella realtà storica e sociale, la legge dialettica della negazione della negazione in una prospettiva non più metafisica. Si sa che la dialettica di Marx, versione materialistica della dialettica idealista hegeliana, si articola in tesi, antitesi e sintesi.
Nel calcolo differenziale la funzione (tesi) di cui vogliamo calcolare la derivata viene ad essere negata, perché consideriamo un cambiamento rispetto al suo valore iniziale (antitesi), fino a giungere alla nuova derivata come negazione della negazione (sintesi). Anche se l’integrazione introdotta da Marx fra calcolo differenziale e dialettica è stata oggetto di critiche da parte di chi vede le entità matematiche come astratte ed estranee alla realtà materiale, il problema dei rapporti tra filosofia e scienze esatte resta aperto.
Necessità della matematica per qualunque progetto di riscatto sociale
In Marx andò sviluppandosi in termini nuovi il progetto della “costituzione di una teoria matematica dell’economia politica”. Marx, a differenza di Engels, aveva nella sua mente un dinamismo matematico tale da aprire la via, almeno secondo Lucio Lombardo Radice, a importanti sviluppi moderni. Anche se il comunismo storico si palesa come un fallimento del suo ideale, non si può negare che a Marx, più che ad ogni altro teorico, spetti il merito di aver posto in termini scientifici e insieme con grande sensibilità un problema estremamente attuale: fare uso della matematica per coadiuvare qualsiasi ricerca economica animata da spirito prometeico nei confronti dell’umanità, tenuta dal canto suo a rivelarsi degna di ricevere in dono il fuoco divino.
Esempi del modo di procedere di Marx
marxNota
Ormai i testi citati di Augusto Ponzio e di S.S. Prawer non sono facili da reperire. Ecco i link in vista di un’eventuale ricerca di disponibilità per l’acquisto:
Ugo Piscopo, già dirigente superiore per i servizi ispettivi del MIUR
per Manoscritti matematici
e per La biblioteca di Marx
Per l’articolo di Paolo Simonetti sul calcolo differenziale in Marx:
www.wisemag.it/2018/07/28/marx-matematica/
Su Hegel, Marx e il calcolo infinitesimale:
Per la matematica del plusvalore sia consentito rinviare a Marx, Il capitale, con prefazione di Eric J. Hobsbawm, Editori Riuniti, 1997
Sulla presenza di Marx si veda Ugo Piscopo, A Karl Marx – Epistola a un antenato ancora fra noi:
https://www.matmedia.it/wp-content/uploads/2020/06/piscopo-epistola.pdf
Si può vedere anche Biagio Scognamiglio, Karl Marx – Un umanista sulla soglia di scientificità:
https://www.matmedia.it/wp-content/uploads/2018/09/MARX.pdf
Sull’attualità di Marx:
AA. VV., Marx vivo. La presenza di Karl Marx nel pensiero contemporaneo, voll. 2, Mondadori, 1969
AA.VV., Karl Marx vivo o morto? Il profeta del comunismo duecento anni dopo, Solferino, 2018
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