Algebra e analisi: quando il polinomio si costruisce e quando si interpreta. Due quesiti della maturità 2003 e due diversi modi di pensare l’algebra
Nella prova scritta di matematica della Maturità scientifica del 2003 (PNI) comparivano due quesiti di algebra solo in apparenza elementari.
Il primo chiede di fornire un esempio di polinomio che taglia una retta in quattro punti;
il secondo di trovare un valore del parametro \(b\) per cui una cubica ammette tre radici reali.
Due problemi simili nella forma, ma profondamente diversi nel modo in cui si affrontano: nel primo si costruisce un polinomio, nel secondo si interpreta il comportamento di una funzione.
1. Il problema che chiede di “fornire un esempio”
Quesito: Dare un esempio di polinomio \(P(x)\) il cui grafico tagli la retta \(y=2\) quattro volte.
a) Comprendere la richiesta
La domanda è molto precisa: non chiede di dimostrare o giustificare, ma di fornire un esempio concreto.
In pratica, dobbiamo scrivere un polinomio \(P(x)\) tale che l’equazione \(P(x) = 2\) abbia quattro soluzioni reali distinte.
b) La via algebrica (costruttiva)
Per avere quattro soluzioni reali, \(P(x) - 2 = 0\) deve avere quattro zeri reali.
Un polinomio con quattro zeri distinti è necessariamente di quarto grado. Un esempio semplice è:
\[
P(x) = 2 + (x - 3)(x - 1)(x + 1)(x + 3).
\]
Infatti:
\[
P(x) = 2 \ \Leftrightarrow\ (x - 3)(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0,
\]
che si annulla per \(x = -3, -1, 1, 3\).
Il grafico di \(P(x)\) passa dunque quattro volte per la retta \(y = 2\).
c) L’analisi spiega perché il grado minimo è quattro — e cosa accade oltre
Se il grafico di \(P(x)\) taglia la retta \(y = 2\) in quattro punti distinti, allora, l'abbiamo già detto, l’equazione \(P(x) - 2 = 0\) ha quattro radici reali.
Per il teorema di Rolle, tra quattro radici distinte devono esserci almeno tre punti in cui la derivata \(P'(x)\) si annulla.
Di conseguenza, \(P'(x)\) è di grado almeno 3 e \(P(x)\) è di grado almeno 4.
Una volta compreso che il grado minimo è quattro, possiamo osservare che anche polinomi di grado superiore possono intersecare la retta \(y=2\) esattamente in quattro punti reali.
Ne riportiamo due esempi significativi, diversi per struttura e comportamento grafico.
1. Polinomio con radici doppie
\[
P_1(x) = 2 + (x^2 - 4)^2 (x^2 - 9)
\]
è un polinomio di grado 6 che soddisfa \(P_1(x)=2\) per \(x = \pm 2, \pm 3\).
Le radici \(x = \pm 2\) sono di molteplicità 2 (radici doppie), quindi il grafico è tangente alla retta \(y = 2\) in quei punti e la attraversa solo negli altri due.
Didatticamente è un esempio utile per discutere la differenza tra “radice semplice” e “radice multipla” e per mostrare come la molteplicità modifichi l’andamento locale della funzione.
2. Polinomio con radici distinte e due complesse coniugate
\[
P_2(x) = 2 + (x - 3)(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x^2 + 1)
\]
è anch’esso di grado 6 e interseca la retta \(y = 2\) in quattro punti reali: \(x = -3, -1, 1, 3\).
Il fattore \(x^2 + 1\) è sempre positivo e non aggiunge radici reali, perciò le due radici restanti sono complesse coniugate. Il grafico attraversa la retta \(y = 2\) quattro volte, in modo alternato, senza tangere.
Confrontando \(P_1(x)\) e \(P_2(x)\), gli studenti possono vedere che:
- lo stesso numero di intersezioni reali può corrispondere a strutture algebriche differenti;
- la molteplicità delle radici influisce visibilmente sul profilo del grafico;
- il grado stabilisce il massimo numero possibile di intersezioni, ma non quello effettivo.
d) Osservazioni didattiche
- L’esercizio è ideale per introdurre la relazione tra numero delle radici, grado del polinomio e zeri della derivata.
- Permette di collegare algebra e analisi attraverso un caso concreto.
- In laboratorio, con GeoGebra, si può verificare graficamente la presenza dei quattro punti d’intersezione e dei tre zeri di \(P'(x)\).
2. Il problema che chiede “un valore di b”
Quesito: Si vuole che l’equazione \(x^3 + b x - 7 = 0\) abbia tre radici reali. Quale può essere un possibile valore di \(b\)?
Questo secondo quesito è diverso: non ci viene chiesto di scrivere una formula, ma di individuare una condizione sul parametro \(b\) che assicuri tre radici reali. Qui si aprono davvero più vie di soluzione, tutte significative.
a) Analisi grafica (via intuitiva)
La funzione associata è \(f(x) = x^3 + b x - 7\).
La derivata prima è \(f'(x) = 3x^2 + b\).
Il segno di \(f'(x)\) controlla la forma del grafico:
- Se \(b \ge 0\), allora \(f'(x) > 0\) per ogni \(x\): la funzione è sempre crescente → una sola radice reale.
- Se \(b < 0\), allora \(f'(x)\) si annulla per \(x = \pm \sqrt{-b/3}\): la funzione ha un massimo e un minimo → può avere tre radici reali.
b) Verifica dei segni nei punti critici
Sostituendo i valori nei punti critici:
\[
\begin{cases}
f(-\sqrt{-b/3}) = -\dfrac{2b}{3}\sqrt{-\dfrac{b}{3}} - 7, \\
f(\sqrt{-b/3}) = \dfrac{2b}{3}\sqrt{-\dfrac{b}{3}} - 7.
\end{cases}
\]
Poiché \(b < 0\): il primo valore (massimo) può essere positivo e il secondo (minimo) negativo.
La funzione taglia l’asse tre volte se:
\[
f(-\sqrt{-b/3}) > 0 \quad \text{e} \quad f(\sqrt{-b/3}) < 0.
\]
Provando con valori numerici:
- per \(b = -5\), c’è un solo taglio;
- per \(b = -8\), la curva attraversa l’asse tre volte → tre radici reali.
c) Metodo con il discriminante (via algebrica completa)
Per chi conosce la teoria generale delle equazioni cubiche, la forma proposta nel quesito,
\[
x^3 + b x - 7 = 0,
\]
è una cubica depressa, cioè priva del termine di secondo grado.
La sua risoluzione completa si ottiene con la formula di Cardano, che esprime le tre radici in funzione dei parametri \(b\) e \(q\) (con \(q = -7\)) mediante radicali cubici. In questa forma, il discriminante dell’equazione cubica è:
\[
\Delta = -4b^3 - 27q^2.
\]
Il discriminante stabilisce la natura delle radici:
- \(\Delta > 0\): tre radici reali e distinte;
- \(\Delta = 0\): radici reali con almeno una coincidente;
- \(\Delta < 0\): una radice reale e due complesse coniugate.
Nel nostro caso \(q = -7\), quindi:
\[
\Delta = -4b^3 - 27 \cdot (-7)^2 = -4b^3 - 1323.
\]
Affinché ci siano tre radici reali, deve risultare \(\Delta > 0\), ossia:
\[
-4b^3 - 1323 > 0 \quad \Longrightarrow \quad b < -\sqrt[3]{\tfrac{1323}{4}} \approx -6{,}94.
\]
Un valore possibile, coerente anche con il ragionamento grafico precedente, è quindi \(b = -8\), per il quale il discriminante è positivo e la cubica possiede tre radici reali distinte.
Questa via algebrica, più formale, completa le interpretazioni precedenti: mentre il metodo grafico e quello analitico permettono di intuire la condizione, il discriminante la dimostra con precisione, richiamando la struttura della formula cardanica.
È l’occasione per ricordare agli studenti che la teoria antica delle equazioni contiene, in forma compatta,
tutte le informazioni qualitative che l’analisi moderna rende visibili nei grafici.
d) Osservazioni didattiche
- Questo esercizio mostra un caso in cui si può scegliere il metodo: grafico, numerico o algebrico.
- Ottima occasione per discutere il concetto di parametro come leva che cambia la forma della funzione.
- Favorisce la comprensione qualitativa prima del formalismo.
3. Due modi diversi di pensare l’algebra
Mettendo insieme i due quesiti:
nel primo si costruisce un polinomio (algebra operativa);
nel secondo si interpreta un comportamento (algebra concettuale).
Nel primo, l’unica via è quella algebrica; nel secondo, più strade portano alla stessa meta.
Entrambi mostrano che in matematica non sempre si tratta di calcolare, ma di capire il tipo di domanda che ci viene posta: a volte si deve costruire un oggetto, altre volte riconoscere una condizione.
Conclusione
I due quesiti della maturità 2003 offrono una lezione di metodo: l’algebra non è solo manipolazione di simboli, ma anche interpretazione di forme.
L’una serve a costruire, l’altra a capire. E tra le due passa gran parte della maturità matematica degli studenti.
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