Le equazioni differenziali nella didattica e nelle prove d’esame. La proposta di un problema e le sue soluzioni.
Per molti anni le equazioni differenziali sono state assenti nel programma di Analisi del liceo scientifico. La richiesta di prerequisiti avanzati e le difficoltà di natura concettuale e tecnica, che esse generalmente comportano, non si conciliavano col quadro orario e con la tradizione didattica del vecchio ordinamento. La loro introduzione nelle sperimentazioni degli anni’80-‘90, suggerito dall’evoluzione degli obiettivi formativi e degli strumenti didattici , non fu confermata in occasione della revisione dei programmi di matematica del triennio P.N.I. (Circolare ministeriale 27-9-1996).
Quest’ultima scelta era motivata da un oggettivo sovraccarico dei programmi sperimentali ma anche dal timore che, in mancanza di tempo per un’adeguata concettualizzazione, l’insegnamento rimanesse limitato agli aspetti tecnici e applicativi.
Nei percorsi didattici si cominciò comunque a introdurre le soluzioni di semplici equazioni del primo ordine a variabili separabili, per lo più nelle applicazioni alla fisica. Equazioni un po’ più complesse potevano essere affrontate mediante metodi numerici con l’ausilio degli strumenti informatici.
Particolare importanza era data allo studio di fenomeni transitori ( riscaldamento – raffreddamento, carica-scarica di un condensatore , extracorrente di chiusura o di apertura), esempi tutti riconducibili alla soluzione di un’equazione differenziale del tipo dy/dx = k -hy
La valenza didattica dei suddetti esempi, nell’ambito della modellizzazione, fu riconosciuta nei percorsi liceali, anche non sperimentali, fino all’ingresso ufficiale delle equazioni differenziali nelle Indicazioni Nazionali della Riforma Gelmini del 2010.
I quesiti seguenti sono stati assegnati all’esame di Stato 2015, anno in cui andavano a regime le classi del nuovo ordinamento.
| Quesito 4. ordinaria | Quesito 6. Europa | Quesito 10. Suppletiva |
| Di quale delle seguenti equazioni differenziali la funzione logx/x è soluzione ?:
y” + 2y’/x = y y’ +xy” = 1 xy’ = 1/x + y x2y” + xy’ + 2/x = y
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La popolazione di una colonia di batteri è di 4000 batteri al tempo t= 0 e di 6500 al tempo t= 3. Si suppone che la crescita della popolazione sia esponenziale, rappresentabile, cioè, con l’equazione differenziale, dy/t=kdt, dove k è una costante e la popolazione di batteri al tempo t.
Al tempo t= 10, la popolazione supererà i 20000 batteri?
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Sia la derivata seconda di una funzione reale f(x) data da f′′(x) = 3x − 6. Determinare
l’espressione di f(x), sapendo che il grafico della funzione passa per il punto P(2, -7) e che l’angolo formato dalla tangente al grafico di f(x) con l’asse nel punto di ascissa x=0 vale 45°.
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Le simulazioni e le prime prove d’esame rivelavano una distinzione tra quesiti e problema, accentuata dalla proposta di due ben distinte griglie di valutazione.
I quesiti miravano a misurare conoscenze e abilità, mentre i problemi, erano formulati in modo da valutare le competenze, principalmente nella risoluzione di problemi fortemente contestualizzati, nei quali le equazioni differenziali entravano a pieno titolo.
In realtà le Indicazioni nazionali, oltre a porre l’accento sull’importanza delle equazioni differenziali in qualità di strumenti matematici di base, invitano anche a una riflessione sul significato concettuale delle soluzioni.
Analogamente, la successiva esclusione dal Quadro di riferimento per la redazione e lo svolgimento della prova scritta di matematica (2018) non va intesa in modo riduttivo riguardo al loro valore formativo nei percorsi didattici.
ll ‘’problema inverso delle tangenti”, interessante anche dal punto di vista storico, suggerisce un approccio geometrico, alternativo a quello modellistico.
Lo studio di funzione “classico” si avvale del calcolo differenziale per conoscere la monotonia o la convessità e per scrivere l’equazione della retta tangente alla curva in un determinato punto. Viceversa, per determinare la natura della curva che soddisfa una data relazione fra le coordinate e i loro elementi differenziali, per esempio, una data proprietà sulla tangente o sulla normale, o sulla sottotangente, è necessario risolvere un’equazione differenziale.
Queste osservazioni suggeriscono la strada da seguire per operare in modo coerente alcuni collegamenti tra Geometria e Analisi.
Il problema seguente non è propriamente una proposta di simulazione della prova d’esame ma può essere un’utile esercitazione attraverso concetti di geometria, analisi e trigonometria, con un collegamento alla Fisica ( Ottica geometrica).
PROBLEMA
Le soluzioni
Seconda soluzione (di ChatGPT)
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