Gli artifici dell’Algebra

Perchè per dimostrare la formula di Cardano si è posto x=u+v? La natura del problema e gli artifici necessari dell’Algebra.

Gerolamo Cardano (1501-1576)

Come risolvere la cubica x³+ax = b?  Si ponga x=u+v.

Così è stato fatto in: Il grande teorema: la soluzione della cubica. E si è detto di Mark Kac che la giudicò un punto di partenza “sleale”, mentre per la maggior parte delle persone è un punto di partenza immotivato. Decisamente misterioso. Come si fa a capire da dove esce fuori quella posizione? Forse è solo un trucco. Uno dei tanti artifici di cui è ancora ricco l’insegnamento dell’algebra e che s’incontrano nelle questioni legate alle soluzioni delle equazioni e dei sistemi di equazioni presentati e accettati come espedienti necessari per trasformare espressioni simboliche in altre equivalenti ma più comode da trattare e risolvere [VEDI: L’Algebra regina delle stregonerie matematiche] .

Nè va meglio il modo alternativo,  al quale pure si è fatto cenno, di partire dall’identità:

(u + v)³– 3uv(u + v) = u³ + v³

Anche questo modo pare uscire dalla bacchetta di un mago che è, peraltro, una percezione abbastanza vicina al modo in cui era visto il matematico dell’epoca che sapeva quali artifici usare per risolvere una data questione algebrica e li teneva per sé, strumenti della sua arte segreta.

Comunque l’identità un motivo lo ha. Deriva dal fatto che i matematici del Cinquecento lavoravano per immagini e vedevano la “cosa”^*, ovvero l’incognita da determinare, come la misura di una lunghezza; il suo quadrato come un’area e il suo cubo come un volume.

Cardano non è da meno e risolve le sue equazioni di terzo grado pensando ad un cubo di spigolo x=u+v in analogia al metodo del completamento del quadrato utilizzato per risolvere un’equazione di secondo grado. 

Il volume in questo caso è il cubo del binomio. È (u+v)³, che oggi svilupperemmo rapidamente, ma allora non era così.

Il simbolismo algebrico era solo in embrione e l’algebra era ancora un’algebra retorica, espressa a parole (Tartaglia esprime la formula di Cardano in 25 versi). Anche le formule erano regole che si esprimevano a parole e la stessa equazione da risolvere x³+ax = b era detta: «cubo e cosa uguale a numero».

Quindi si parte pensando al cubo. E se lo spigolo misura u+v allora il suo volume si può esprimere come la somma di due volumi di spigoli rispettivi u e v, tre parallelepipedi di volumi u²v e altri 3 di volumi uv². Ovvero:

(u + v)³ = u³ + 3u²v+ 3uv² + v³

Da questa deriva la identità:

(u + v)³– 3uv(u + v) = u³ + v³

che è l’equazione x³+ax = b quando  x=u+v,  uv = – a/3  e  u³ + v³ = b.

Allora u e v sono soluzioni di un’equazione di secondo grado e x, ovvero l’incognita da determinare, è la loro somma. Quindi la formula:

Se l’equazione da risolvere è x³+6x = 20 allora la formula dà:E se l’equazione da risolvere è x³-15x = 4 allora la soluzione è data da:

Per Cardano però mentre la prima ha la radice reale x=2, questa seconda equazione è impossibile per la presenza nella formula della radice quadrata di un numero negativo. L’equazione fu affrontata qualche decennio dopo da Bombelli il quale più coraggiosamente cominciò ad operare su quei numeri che chiamava sofistici^** e trovò con sorpresa che la formula di Cardano dava ben tre radici reali.

Oggi gli studenti hanno a disposizione mezzi potentissimi ai quali affidare il calcolo dei radicali al quale porta la formula di Cardano. Ad esempio a Wofram Alpha che per la seconda equazione dà subito le tre radici reali ovvero x = 4 ,   x = -2-√3,  x = √3-2  e per la prima oltre alle radici ovvero x=2, x=-1-3i , x =-1+3i, dà anche la loro rappresentazione grafica:

e ogni altra informazione di cui si potrebbe aver bisogno.

NOTA

^*L’algebra era anche detta arte della cosa o cossica dal tedesco coss.

^{**Fu Gauss a chiamarli “numeri complessi”, mentre la notazione i per √-1 si deve a Eulero.}