L’importanza delle lunule

Sull’equivalenza tra figure a contorno rettilineo con quelle a contorno curvilineo. L’importanza delle lunule e il genio di Leonardo da Vinci.

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Sone state molte le sfide che la geometria ha dovuto affrontare una volta diventata razionale con lo stabilire il punto senza dimensioni, le linee e il piano senza spessore.

Una di queste è stata quella di poter stabilire l’ equivalenza tra figure rettilinee con quelle curvilinee. Famosa a questo proposito è stata la “quadratura del cerchio” che consiste nel poter costruire con la sola possibilità di tracciare rette e circonferenze, un quadrato equivalente ad un cerchio assegnato o viceversa. Si tratta di uno dei famosi problemi della matematica greca che si dimostrerà nel seguito (1882, teorema di Lindemann) impossibile.

Questa impossibilità avvalorava l’intuizione di molti matematici circa l’impossibilità di poter porre in equivalenza figure di contorno così diverso. Cartesio, ad esempio, ignorando molti risultati ottenuti da matematici greci o no, afferma (Opere scientifiche di René Descartes  Vol: II, UTET, 1983, p. 598): «non è conosciuta la relazione che sussiste tra le rette e le curve e non potendo neppure –almeno credo- divenir ormai nota agli uomini, nulla se ne potrebbe concludere di esatto e di certo».

In verità anche Aristotele, pur conoscendo alcuni risultati ottenuti nei quali intervenivano rette e curve e dimostrando lui stesso l’uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele sfruttando gli angoli curvilinei (Analitici primi 41b 13-22), non considera una vera scienza  lo studio della quadratura del cerchio (Categorie, 7b.22-33) non escludendola però del tutto.

Sarebbe molto lungo anche solo ricordare gli sviluppi della matematica greca nei confronti della costruibilità o meno, con solo rette e circonferenze, di figure geometriche e rimandiamo per questo ad altre nostre pubblicazioni[1]

Ebbene, trascurando  i vari risultati ottenuti o semplicemente tentati, via via  nel corso dello sviluppo matematico (Anassagora, Antifonte, Brisone, Euclide, Pappo ecc.) che coinvolgevano figure a contorno rettilineo e curvilineo, ci limitiamo a ricordarne uno dei più significativi ottenuto da Ippocrate di Chio (470-410 a. C.): la quadratura della lunula.

Ricordiamo innanzi tutto che si chiama lunula quella parte di piano racchiusa da due archi di cerchio diversi con gli estremi in comune e la concavità dalla stessa parte.

Ippocrate considerò quattro diverse lunule tre delle quali costruibili con riga e compasso e quadrabili.

Noi prenderemo in esame quella che consideriamo la più bella e la più semplice e cioè quella indicata da AEBD nella figura sottostante in cui l’arco AEB è la semicirconferenza con diametro uguale al lato del quadrato inscritto nella circonferenza la cui quarta parte costituisce il secondo arco.

Ebbene. poiché due cerchi stanno tra loro come i rispettivi quadrati dei diametri[2], si ha:

Cerchio ABC : Cerchio ABE  =  BC² : AB²

ma     BC² : AB²  =  2

pertanto:       Cerchio ABC  =  2 Cerchio ABE

da ciò segue che:  Quadrante  ADBO = Semicerchio ABE

Togliendo la parte comune alle due superfici e cioè il segmento circolare ABD  di base AB del cerchio dato,, si ha l’equivalenza delle parti rimanenti (annerite nella figura).

La lunula così costruita è equivalente al triangolo rettangolo ABO ! Questa equivalenza fu presa a simbolo della Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche MATHESIS.

Trascurando di affrontare le altre lunuile quadrabili, argomento che può trovarsi in vari testi di storia della matematica[3] riportiamo un risultato geniale di Leonardo da Vinci che molto si è occupato di problemi di  equivalenza e che permetterebbe di costruire semplicemente infinite figure tra loro equivalenti

La figura iniziale è quella data da “a” più “c”; facendo “scivolare” la figura verso destra essa diventa ”c” più “b”. Pertanto, tolta la parte comune ”c” ecco dimostrato che  le due figura “a” e “b” , in neretto nella figura, sono equivalenti !

Un risultato, ripetiamo, geniale nella sua semplicità dovuta ad uno dei grandi geni dell’Umanità[4]

NOTE

[1] Citiamo, ad esempio l’articolo “La matematica greca  e le costruzioni con riga e compasso” (Rivista: L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze integrate, Paderno del Grappa, Treviso  nn. 1 e 2 del 1995 pp. 15-43 e 109-126)  in cui si sostiene la piena consapevolezza, matematica e metafisica, degli studiosi greci sulla distinzione tra le possibili costruzioni con rette e circonferenze e quelle che avrebbero richiesto curve di ordine superiore.

[2] Proprietà evidentemente nota ad Ippocrate  e che troviamo in seguito dimostrata nella proposizione XII,2 degli Elementi di Euclide sfruttando il cosiddetto “metodo di esaustione”  primo sintomo  della teoria dei limiti.

[3] Si può consultare ad esempio anche per i riferimenti ai vari documenti e relativi testi di storia, la mia Storia della matematica prima di Euclide. Matematica Matematica, Simmetria, Roma, 2020, pp. 550.

[4] Questo risltato è stato tratto dal volume La matematica di Leonardo da Vinci, di Augusto Marinoni, Concorso Philiph, Giovani ricercatori europei, 1982 (pp. 174) che a questo proposito cita  a p. 75 il foglio 42r del Codice Forster II (1495-1497).