Russell e il barbiere Barrett

Una storiella da raccontare in classe. I personaggi: Russell, Frege, Gödel, il barbiere Barrett e, per finire, l’eccentricità di G.H. Hardy e il Manifesto Russell-Einstein per il disarmo.

Era il 28 aprile 1906, una calda giornata primaverile. Bertrand Arthur William Russell, terzo conte della casata, giunto alla stazione di Cambridge scese dal treno e si diresse verso il Trinity College intenzionato a fare una piacevole passeggiata prima di recarsi ad affrontare i colleghi e gli allievi che lo attendevano al Trinity. Passandosi la mano sul viso, si rese conto però che quella mattina, forse per la fretta, s’era scordato di radersi. Decise allora di provvedere fermandosi dal barbiere Barrett la cui bottega l’avrebbe incrociata attraversando il vicino villaggio. “Barrett il barbiere” – interessante pensò Russell: appartiene all’insieme delle persone la cui professione comincia con la stessa lettera iniziale del loro cognome come “Locke il logico“, “Fichte il filosofo“, “Mersenne il matematico“.

Alla bottega di Barrett già c’era stato altre volte e una volta arrivato rilesse con piacere quel cartello, ormai scolorito, che compariva in un angolo della vetrina. C’era scritto: «Barrett è disposto a radere tutti gli uomini del villaggio che non vogliono radersi da sé». Ricordò che quel cartello c’era là dal 1902, almeno da quando lui l’aveva segnalato a Gottlob Frege, il 16 giugno di quell’anno. Nella lettera aveva sottolineato che quell’annuncio conduceva alla domanda, lecita, atteso che non c’erano altri barbieri: “Chi rade Barrett?”.

Una domanda alla quale per rispondere bisognava considerare che se Barrett si radeva da sé allora faceva parte dell’insieme degli uomini che non si radono da sé e viceversa se non si radeva da sé allora sarebbe stato elemento dell’insieme degli uomini del villaggio che si radono da sé. Insomma quel cartello portava diritti a una contraddizione e a scoprire un errore assolutamente esiziale per I fondamenti dell’Aritmetica che Frege aveva pubblicato già dal 1884. Infatti, la definizione di insieme data da Frege era difettosa: consentiva di considerare l’insieme di tutti gli insiemi e quindi anche l’insieme U di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Considerazione che conduceva alla stessa contraddizione del cartello di Barrett: se U∉U ⇒ U∈U e se U∈U ⇒ U∉U.

Frege rispose subito alla lettera di Russell: «La sua scoperta della contraddizione mi ha procurato grandissima sorpresa e quasi direi costernazione, perché ha scosso le basi sulle quali intendevo edificare l’aritmetica…».

Russell aveva ripensato a tutto ciò quando entrò nella bottega. Barrett lo salutò con calore e mentre già gli insaponava il viso, Russell chiese: “Ditemi Barrett, alla luce di quell’insegna, siete disposto a radere voi stesso? “Certamente, Vostra Grazia, – rispose Barrett – ho risolto il problema e non sono più di fastidio alla logica, vivo ora a Cambridge e non sono più un abitante di questo villaggio del quale, però, rimango ancora l’unico barbiere”.

Quello stesso giorno, nella lontana città di Brunn (oggi Brno) nell’impero austroungarico – la stessa città in cui, fra gli altri, era nato Gregor Mendel – nasceva Kurt Gödel segnando così l’inizio di altri profondi sconvolgimenti nel campo della logica matematica.

Bertrand Russell (1872-1970)

Questa storiella, con i fatti che racconta, non costituisce un insieme di tutte e sole cose vere. Alcune sono immaginate: la bella giornata, la passeggiata di Russell, il barbiere Barrett e il suo cartello. Alcune di quelle cose immaginate si trovano in altre volgarizzazioni del paradosso del barbiere e in particolare in alcune pagine di Uomini e macchine intelligenti di Jeremy Bernstein.