Il 236° compleanno di Augustin-Louis Cauchy: il matematico che indicò al mondo come insegnare l’Analisi

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

Il 21 agosto ricorre l’anniversario della nascita di Augustin-Louis Cauchy. Un’occasione per ricordarlo non solo come il grande matematico che è stato, ma anche come uno dei più influenti insegnanti di matematica dai tempi di Euclide. Aspetti che si fondono nel suo Cours d’analyse de l’École royale polytechnique del 1821, con il quale insegnò ad insegnare l’Analisi, inaugurando un metodo di esposizione e di organizzazione della materia che ancora oggi resiste.

Cauchy nacque a Parigi il 21 agosto 1789, poche settimane dopo la presa della Bastiglia (14 luglio), in una Francia sconvolta dalla Rivoluzione. La sua vita fu profondamente influenzata dagli eventi politici, dalle rivoluzioni alle restaurazioni, e persino il suo titolo di barone fu legato a tali vicende.

I primi anni li trascorse lontano dalla capitale; vi fece ritorno nel 1800, quando il padre fu nominato segretario del Senato. Proprio al Palais du Luxembourg, sede del Senato, Cauchy incontrò Joseph-Louis Lagrange. All’epoca aveva undici anni e già una forte inclinazione per la matematica. Lagrange se ne accorse immediatamente e diede al padre due preziosi consigli:

1. Non fornirgli libri di matematica superiore prima dei diciassette anni.¹

2. Dargli innanzitutto una solida preparazione letteraria, per evitare che crescesse come grande matematico ma incapace di scrivere correttamente nella propria lingua.

Con i moti rivoluzionari del 1830, Cauchy lasciò Parigi. Si trasferì a Torino, dove insegnò matematica all’Università. Il giornale Il Diritto del 27 maggio 1857, annunciando la sua morte, avvenuta il 23, scrisse: «Il barone Cauchy, celebre matematico e membro dell’Istituto di Francia, è morto a Parigi. Il signor Cauchy, esule volontario dopo la rivoluzione di luglio, insegnò per qualche tempo matematiche sublimi nell’Università torinese»².

In un contesto di continui cambiamenti politici, la più grande aspirazione di Cauchy fu certamente l’insegnamento con risultati però molto contrastanti. Nell’ampia miniera degli episodi che si raccontano su di lui rientra una lezione sulle sezioni coniche. Il suo allievo, rampollo, ovviamente, di nobile famiglia, pur attento, continuava a ripetere: «Non capisco, signore». Cauchy riprendeva ogni volta la dimostrazione, finché, a corto di argomenti, esclamò: «Il teorema è esatto. Ve ne do la mia parola d’onore!». «Ah, signore», rispose il giovane, «perché non me lo avete detto subito? Non mi sarei mai permesso di dubitarne».

A un altro episodio i suoi biografi hanno dato molta più rilevanza. Avvenne all’École polytechnique il 12 aprile 1821, quando, giunto alla 65ª lezione del semestre (ben oltre le 50 previste), prolungò la lezione oltre le due ore regolamentari. Gli studenti, stanchi, cominciarono a fischiare e alcuni abbandonarono l’aula; un’inchiesta successiva concluse che sia Cauchy sia gli studenti avevano delle responsabilità, ma nessuno fu punito³.

Cauchy si presenta come un didatta rigoroso, quasi pedante, eccessivamente severo, capace di imporre all’analisi la forma di una scienza assiomatica, ma non sempre capace di incontrare i ritmi e la sensibilità degli studenti del suo tempo.

Il Cours d’Analyse tra didattica e rigore

Il contributo di Cauchy sia alla matematica che all’insegnamento è, comunque, enorme. Fu l’iniziatore della sistemazione a fini didattici dell’Analisi. Con il Cours d’Analyse fissò i capitoli e l’itinerario didattico da seguire per insegnarla e apprenderla. Un insegnamento razionale pensato per gli allievi della  École royale polytechnique al modo della tradizione di Euclide che scrisse gli Elementi ad uso dei  giovani frequentanti la Scuola di Alessandria. Eppure, qui la vicenda assume un tono paradossale: concepito come manuale per gli studenti, il Cours già un anno dopo la sua pubblicazione (1821) fu accantonato dai programmi ufficiali, che ridussero l’attenzione alle questioni di fondazione dell’analisi. L’opera, dunque, non ebbe fortuna immediata come libro di testo; eppure, proprio per la sua impostazione didattica rigorosa, sarebbe divenuta uno dei testi più influenti della storia della matematica.

Niels Henrik Abel scrisse: «Quest’opera notevole dovrebbe essere letta da tutti coloro che amano il rigore nelle ricerche matematiche»⁴. Quello del rigore è l’aspetto che gli storici hanno più messo in evidenza.

In realtà, il rigore conseguito da Cauchy nel Cours del 1821 e anche nelle opere successive (Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, 1823; Leçons sur le calcul différentiel, 1829) è insufficiente rispetto agli standard moderni. Egli si serve di espressioni come «si avvicina indefinitamente», «piccolo quanto si vuole», «gli ultimi rapporti degli incrementi infinitamente piccoli» e «una variabile si avvicina al suo limite»⁵.

Tuttavia, mentre la rigorizzazione dell’analisi fu un processo che Cauchy avviò e che altri progressivamente hanno perfezionato, è indiscutibile il merito di aver dato «all’esposizione elementare del calcolo infinitesimale la veste e il carattere che ha ancora oggi»⁶.

L’itinerario didattico del Cours, divenuto canonico, è quello che ha i suoi punti di partenza nei numeri reali e nel concetto di limite. Fondamentale però dal punto di vista didattico è il concetto di funzione, e sembra in ciò anticipare quello che sarà il credo didattico di Felix Klein. Inizia così il Capitolo I, con la definizione di funzione: «Quando quantità variabili sono collegate tra loro in modo tale che, dato il valore di una di esse, si possano determinare i valori di tutte le altre, consideriamo normalmente queste varie quantità come espresse per mezzo di quella che assume il nome di variabile indipendente. Le altre quantità espresse per mezzo della variabile indipendente si chiamano funzioni di quella variabile.».

E arriva a dare anche una definizione soddisfacente di funzione continua, vicina a quella attuale: «La funzione \( f(x) \) è continua entro limiti fissati se, nell’intervallo compreso tra questi limiti, un incremento infinitamente piccolo \( i \) della variabile \( x \) produce sempre un incremento infinitamente piccolo \( f(x+i) – f(x) \) della funzione stessa».

Ovviamente al Capitolo I è premesso un altro capitolo di Preliminari, oggi si direbbe un «Capitolo 0», di illustrazione dei termini e notazioni utilizzate.

A più di due secoli di distanza, il modello didattico fissato da Cauchy continua a plasmare i manuali e la formazione matematica di milioni di studenti in tutto il mondo malgrado tanti e pregevoli tentativi. Ad esempio,  il libro Lezioni di Matematica 1          di Giuseppe Geymonat del 1981. Ancora oggi è un libro innovativo. Il progetto di Geymonat⁷ rivolto agli studenti d’ingegneria partiva proprio dalla constatazione che lo sviluppo dei corsi di Analisi ricapitolava, a meno di qualcosa, la sistemazione che Cauchy aveva dato al suo Cours per gli ingegneri del 1821 ed era giunto il momento di rinnovare.

In ogni caso il nome di Cauchy ricorre spesso nell’insegnamento ed è tra quelli più noti agli studenti dei licei; compare nella sacra terna dei teoremi della maturità: Rolle, Lagrange, Cauchy. In particolare il teorema di Cauchy, detto anche degli incrementi finiti, dà la chiave per trattare le forme indeterminate. Note sono altresì le successioni di Cauchy e i suoi criteri di convergenza. A lui si deve anche un originale metodo per introdurre i numeri complessi che vale la pena di riportare quale esempio di come Cauchy intendesse il rigore.

Il metodo di Cauchy per i numeri complessi

Nulla vieta di dividere un qualsiasi polinomio a coefficienti reali \( f(x) \) per il polinomio \( x^2 + 1 \); si ha allora:

\[
f(x) \equiv a + b x \; (\text{mod } x^2+1)
\]

poiché il resto è di grado minore del divisore e \( a \) e \( b \) sono reali.
Se quindi

\[
g(x) \equiv c + d x \; (\text{mod } x^2+1)
\]

si ottiene:

\[
f(x) + g(x) \equiv (a+c) + (b+d) x \; (\text{mod } x^2+1)
\]

\[
f(x) \times g(x) \equiv (a c - b d) + (a d + b c) x \; (\text{mod } x^2+1).
\]

E se \( g(x) \) non è congruo a 0 modulo \( x^2+1 \), si mostra pure che \( g(x) \) ha un inverso \( h(x) \),
cioè esiste un polinomio \( h(x) \) tale che

\[
h(x) g(x) \equiv 1 \; (\text{mod } x^2+1).
\]

Così le scritture formali \( a + b x \), \( c + d x \) si combinano come i numeri complessi utilizzati nella pratica: tali numeri possono dunque venir identificati con le classi di polinomi congruenti mod \( x^2+1 \). I numeri complessi si ritrovano nella scrittura che è più familiare, sostituendo al segno \( x \) il segno \( i \).

Cauchy osserva:

«La lettera \( i \) cessa di rappresentare il segno simbolico \( \sqrt{-1} \) che ripudiamo completamente e che si abbandona senza rimpianto, perché non sappiamo che cosa con tale segno si voglia denotare o che significato si debba attribuire a esso. Al contrario, con la lettera \( i \) denotiamo una quantità reale sui generis ma indeterminata e soggetta alla relazione \( i^2 + 1 = 0 \): il segno \( i \) si trasforma così in una lettera indeterminata e sostituisce il segno immaginario in algebra.»

L’Introduzione al Cours d’Analyse (1821)

Per concludere, lasciamo la parola allo stesso Cauchy, che nell’Introduzione alla sua opera dichiara:

«Quanto ai metodi, ho cercato di dar loro il rigore richiesto in geometria, evitando di ricorrere a ragionamenti fondati esclusivamente sulla generalità dell’algebra. [...]

Si tende infatti ad attribuire alle formule algebriche un valore universale, mentre la maggior parte di esse è valida solo sotto precise condizioni e per determinati valori delle variabili. Determinando queste condizioni e fissando in modo preciso il significato delle notazioni, elimino ogni incertezza, e le formule esprimono allora solo relazioni tra quantità reali, sempre verificabili. [...]

Credo che simili restrizioni tornino a vantaggio dell’analisi, poiché portano alla necessità di precisare ulteriormente le teorie e di introdurre nuove ricerche. [...]

Coltiviamo con ardore le scienze matematiche, senza però volerle estendere oltre il loro dominio, né immaginare di fondare la storia o la morale sui teoremi di algebra o di calcolo integrale.»

Note

1. Un consiglio che aveva radici antiche: si narra infatti che fosse stato seguito dal padre di Blaise Pascal.

2. Alessandro Terracini, Cauchy a Torino, conferenza tenuta in occasione del centenario della morte.

3. Bruno Belhoste, Augustin-Louis Cauchy. A Biography, Springer, 2012.

4. Niels Henrik Abel, lettera a B. Holmboe, 1826.

5. Morris Kline, Storia del pensiero matematico, vol. II, Einaudi, Torino, 1991. Cuachy è trattato nel Capitolo XL: la rigorizzazione dell'analisi.

6. Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1976.

7. Giuseppe Geymonat, Analisi matematica, vol. I, Levrotto & Bella, 1981.