Peano e l’antipeanismo

Peano aveva intravisto il futuro della matematica? La sua lingua non è sopravvissuta; il problema che cercava di risolvere, sì.

Nella lista dei più celebri matematici italiani Giuseppe Peano rimane nelle primissime posizioni. Pochi altri nomi ricorrono con altrettanta frequenza nel lessico della disciplina: gli assiomi di Peano, la curva di Peano, il teorema di esistenza di Peano, la misura di Peano-Jordan. Ma Peano non fu soltanto un matematico originale: fu anche un personaggio originale, difficilmente riconducibile alle consuetudini, soprattutto accademiche, del proprio tempo. La scrittura simbolica, la lingua internazionale, il suo atteggiamento verso le convenzioni universitarie e anche il suo ruolo di «apostolo» e di caposcuola contribuirono a farne una figura insieme ammirata e discussa.

Nel 1966, durante una conferenza tenuta a Torino per commemorare Federigo Enriques, un professore si chinò verso Hubert C. Kennedy e gli sussurrò: «Senta l’antipeanismo qui!». Kennedy, che sarebbe divenuto uno dei principali biografi di Peano, ricordò l’episodio come testimonianza di un’ostilità ancora viva negli ambienti matematici torinesi. Erano trascorsi trentaquattro anni dalla morte di Peano, avvenuta nel 1932: un intervallo abbastanza lungo perché le polemiche si attenuassero, ma evidentemente non sufficiente perché la sua figura cessasse di dividere.

Kennedy indicò in Francesco Giacomo Tricomi uno dei principali interpreti di quell’antipeanismo. Il giudizio appare probabilmente eccessivo. Il ritratto di Peano tracciato da Tricomi nei Matematici italiani del primo secolo dello Stato unitario è severo, ma non liquidatorio; alle riserve sull’uomo e sull’ultima parte della sua attività accompagna infatti un riconoscimento esplicito e molto alto del matematico.

Tricomi colloca Peano fra i maggiori esponenti della matematica italiana e osserva che i suoi primi lavori si inserivano nella grande linea dell’analisi inaugurata da Cauchy e proseguita da Weierstrass e Dini. Ricorda quindi alcune delle sue scoperte più celebri: l’assiomatizzazione dell’aritmetica, la curva che riempie un quadrato, il teorema di esistenza per le equazioni differenziali. Risultati che egli considera vere «pietre miliari» nella storia della matematica.

Anche il Formulario mathematico riceve da Tricomi un riconoscimento significativo. L’opera, scrive, rappresenta per molti aspetti una sistemazione ancora preferibile a costruzioni posteriori. Peano può quindi essere considerato un anticipatore di alcuni sviluppi della matematica del Novecento e, in particolare, di quell’orientamento che Tricomi chiama «bourbakismo». Ma con una differenza essenziale: in Peano non vi sarebbero stati né lo spirito aggressivo e iconoclasta né la ricerca di difficoltà artificiali che Tricomi rimproverava agli esponenti più radicali di quella corrente. Al contrario, egli riconosceva nel matematico piemontese uno «spirito semplificatore».

Le riserve di Tricomi riguardavano soprattutto la fase più tarda dell’attività di Peano. A suo giudizio, il progressivo allontanamento dalla «matematica attiva», l’interesse per la storia della matematica, per le approssimazioni numeriche e per le lingue ausiliarie internazionali avevano finito per sottrarre energie alla ricerca. Anche il suo insegnamento universitario avrebbe perduto nel tempo utilità ed efficacia. Tricomi riprendeva in questo modo un giudizio già espresso da Beppo Levi: «L’apostolo limitò l’opera del matematico e ne impedì talvolta la completa estimazione».

La parola «apostolo» è decisiva. Indica la trasformazione dello studioso in promotore di un progetto intellettuale e civile: rendere la matematica più rigorosa, più semplice e universalmente comunicabile. Ma suggerisce anche il sospetto che la missione abbia finito per prevalere sull’attività propriamente scientifica. Le stesse scelte che rendevano Peano un anticipatore potevano così apparire ai contemporanei come eccentricità o deviazioni.

La presentazione di Lalla Romano alla biografia di Kennedy suggerisce una lettura diversa. Pronipote di Peano — sua madre Giuseppina era figlia di Michele, fratello maggiore del matematico — Romano lo aveva conosciuto nell’ambiente familiare. La sua è dunque non soltanto una valutazione critica, ma anche la testimonianza diretta dell’uomo osservato nella vita quotidiana. Né accoglie senza riserve la ricostruzione di Kennedy: dichiara anzi di volervi apportare «qualche precisazione, anzi correzione».

Il tratto che maggiormente la colpisce è «la coerenza, l’unità di una vita in nessun modo sdoppiata tra interno ed esterno, tra idea e costume». Le scelte scientifiche, linguistiche e personali di Peano non costituivano per lei aspetti separati: nascevano da un’unica esigenza di chiarezza, semplicità e indipendenza dalle convenzioni. Ciò che ad altri sembrava una successione di stranezze era, visto da vicino, il comportamento coerente di un uomo che applicava alla vita lo stesso rigore con cui affrontava la matematica.

Romano insiste sul suo «sprezzo della vanità» e scrive che Peano «aborriva il culto dell’io». Ricorda, a questo proposito, un episodio degli inizi della sua carriera. Una sua prima pubblicazione, contenente una scoperta e la correzione di un errore, uscì sotto il nome del maestro Angelo Genocchi. A chi gli faceva osservare che il merito sarebbe stato attribuito a un altro, Peano rispose: «Che importa che l’idea venga da me o da un altro? L’importante è che si affermi». Almeno nel ricordo familiare, la verità di un risultato contava più del nome di chi lo aveva raggiunto.

Eppure intorno all’uomo che rifiutava il culto dell’io si raccolse una scuola profondamente legata alla sua persona. Ugo Cassina, curatore dell’edizione del Formulario del 1960, lo chiama ripetutamente «Maestro», con l’iniziale maiuscola. Peano voleva subordinare l’autore all’idea; i discepoli riconobbero invece nel Maestro il fondatore di un metodo e quasi di una concezione complessiva della conoscenza. Il contrasto è evidente: al rifiuto individuale della celebrazione corrispose, dopo la sua morte, una devozione capace essa stessa di irrigidirne l’immagine.

Lalla Romano contribuisce anche a correggere il ritratto di un Peano ridotto a freddo formalista. Nella sua testimonianza il rigore si accompagna alla fantasia, la precisione all’invenzione, la severità logica a una curiosità sempre pronta a mettere in discussione l’ovvio. «Credo che la sua concezione — mai formulata — fosse sostanzialmente anarchica», scrive. L’aggettivo descrive soprattutto l’insofferenza verso il dogmatismo, il conformismo e ogni autorità non giustificata dalla ragione. Perfino le strade americane indicate con numeri lo entusiasmarono: vedeva in quella scelta una conferma quotidiana, quasi pitagorica, della capacità del numero di sostituire convenzioni arbitrarie con un ordine semplice e universale.

È in questo quadro che acquistano significato tanto il latino sine flexione quanto il Formulario mathematico. Non furono due imprese indipendenti, l’una linguistica e l’altra matematica. Esprimevano la medesima aspirazione: costruire una comunicazione libera dalle irregolarità, dalle ambiguità e dai particolarismi delle lingue nazionali.

Con il latino sine flexione, o interlingua, Peano cercò di ricavare dal lessico latino una lingua internazionale priva di declinazioni e coniugazioni. Le parole avrebbero dovuto presentarsi in forme invariabili; le relazioni grammaticali sarebbero state affidate all’ordine e a pochi elementi funzionali. Peano non considerava il progetto un’eccentricità marginale: lo riteneva parte della stessa opera di razionalizzazione perseguita nella logica e nella matematica.

Il Formulario mirava a qualcosa di analogo. La matematica vi appariva organizzata attraverso simboli, definizioni e proposizioni disposte secondo dipendenze logiche. Non era una semplice raccolta di risultati. Cercava di mostrare come ciascun enunciato discendesse da quelli precedenti e come settori diversi potessero essere ricondotti a una lingua comune.

Proprio qui si trova, però, il paradosso. Peano voleva eliminare le barriere linguistiche, ma il suo latino sine flexione divenne esso stesso un ostacolo per molti lettori. Voleva rendere la matematica più chiara e universale, ma la densità simbolica del Formulario contribuì a farla apparire inaccessibile. Lo strumento ideato per ampliare la comunicazione finì per restringere il numero di coloro che erano disposti a usarlo.

Peano aveva dunque imboccato una strada senza futuro oppure aveva intravisto, con troppo anticipo, il futuro della matematica?

Una prima risposta venne già da altri matematici del suo tempo. Bertrand Russell riconobbe l’importanza decisiva della logica di Peano per lo sviluppo delle proprie idee. Nei Principia Mathematica, Russell e Alfred North Whitehead dichiararono che la loro notazione si fondava su quella di Peano e che una parte delle spiegazioni era modellata sul Formulario. Il tentativo di tradurre il ragionamento matematico in un linguaggio simbolico rigoroso non scomparve dunque con la scuola torinese: entrò, trasformato, in una delle grandi imprese logiche del Novecento.

Più tardi Bourbaki avrebbe perseguito l’ideale di una ricostruzione sistematica della matematica a partire da strutture generali, definizioni rigorose e un’organizzazione assiomatica dei contenuti. Peano aveva anticipato alcune di quelle esigenze. Aveva compreso che la matematica non è soltanto un insieme di risultati, ma anche una lingua da ordinare, controllare e rendere coerente.

Naturalmente il Formulario non era un sistema formale nel significato odierno. Molti passaggi rimanevano affidati alla competenza del lettore; le regole sintattiche e quelle d’inferenza non erano definite in modo sufficiente per consentire una verifica meccanica. Peano scriveva per matematici, non per calcolatori. Sarebbe quindi anacronistico presentarlo come precursore diretto dell’informatica o dell’intelligenza artificiale.

La direzione da lui indicata ci è però familiare. Peano voleva che ogni segno avesse un significato determinato e che ciascuna proposizione rendesse riconoscibili gli oggetti di cui parlava, le condizioni della propria validità e le relazioni logiche dalle quali dipendeva. La matematica avrebbe dovuto sottrarsi, per quanto possibile, alle ambiguità del linguaggio ordinario.

I moderni linguaggi formali traducono questa aspirazione in sistemi dotati di una grammatica precisa e di regole d’inferenza esplicitamente definite. Gli assistenti alla dimostrazione, come Lean e Isabelle, rendono concreta tale esigenza. Il matematico formula definizioni e teoremi in un linguaggio controllato e affida al sistema la verifica dei passaggi. La distanza dal Formulario rimane enorme, ma la parentela fra le aspirazioni è riconoscibile: non si tratta soltanto di abbreviare la scrittura, ma di rendere esplicita e controllabile la struttura logica del pensiero.

Ritorna però il paradosso del Formulario: un linguaggio più preciso non è necessariamente più accessibile. Peano voleva liberare la matematica dalle frontiere linguistiche, ma la affidò a un codice che pochi erano disposti ad apprendere. Gli assistenti contemporanei promettono di sottrarla all’errore e all’ambiguità, ma richiedono a loro volta l’apprendimento di sintassi, regole e biblioteche specialistiche, rischiando di apparire estranei alla normale pratica matematica.

Esiste tuttavia una differenza decisiva. Oggi la macchina può assistere il matematico nella ricerca dei risultati, suggerire passaggi e segnalare errori. L’intelligenza artificiale può tentare di tradurre una proposizione ordinaria in un linguaggio formale, proporre una strategia o completare alcune inferenze. Ma una risposta persuasiva non è necessariamente corretta: il controllore formale deve ancora stabilire se ogni passaggio sia valido. Tra la creatività della macchina e la certezza della verifica sembra ricostituirsi, in forma nuova, l’incontro fra fantasia e rigore che Lalla Romano riconosceva in Peano.

L’antipeanismo ricordato da Kennedy potrebbe allora essere riletto non soltanto come ostilità verso un uomo eccentrico, ma anche come resistenza alla radicalità delle sue domande. Quanto della matematica dipende da consuetudini eliminabili? Quanto può essere reso esplicito? È possibile costruire una lingua capace di conservare il significato e, nello stesso tempo, di sottrarlo all’ambiguità?

Il latino sine flexione non si è imposto come lingua internazionale e la scrittura del Formulario non è divenuta il linguaggio della matematica contemporanea. Ma le domande dalle quali quelle risposte nacquero sono tornate al centro della scena. Ogni volta che un teorema viene formalizzato, che una dimostrazione è controllata da un calcolatore o che si cerca di tradurre il ragionamento matematico in una forma comprensibile alla macchina, riaffiora il problema al quale Peano aveva dedicato tanta parte delle sue «stranezze».

La strada da lui imboccata non conduceva direttamente al nostro presente. Attraversava territori che si sarebbero rivelati senza uscita e conteneva scelte destinate a isolarlo. Ma non era una strada senza futuro.

Il futuro non ha conservato la lingua costruita da Peano; ha conservato il problema che quella lingua cercava di risolvere.

Il Formulario può allora essere letto non soltanto come un monumento del passato, ma come la testimonianza di un tentativo prematuro: fare della matematica una lingua universale, rigorosa e indipendente dalle ambiguità del discorso comune. Da qui nasce una possibilità: tentare, con l’aiuto dell’intelligenza artificiale, di riscriverne alcune parti in un moderno linguaggio formale, capace di esplicitarne la struttura logica e di rendere il prezioso contenuto formalmente elaborabile e verificabile anche dalle macchine.