Il Teorema di Marion all’esame di Stato

Dalla maturità scientifica del 1995 al laboratorio di geometria: un teorema poco noto tra costruzioni, dimostrazioni e scelte didattiche.

L’articolo di Matmedia «L’invarianza perduta in un laboratorio di dissezioni» a cura di Sergio Casiraghi, richiama l’attenzione su un interessante teorema di Geometria affine tuttora non molto conosciuto: il Teorema di Marion Walter, o semplicemente Teorema di Marion.

Il teorema afferma che «l'area dell'esagono racchiuso dai segmenti che congiungono i vertici di un triangolo con i punti che trisecano i lati opposti è pari a \(\frac{1}{10}\) del triangolo stesso».

Non è chiaro se la matematica tedesca fu la prima a enunciarlo, ma è indiscusso il suo ruolo nell’introduzione del teorema in ambito didattico, negli anni in cui cominciavano a diffondersi i software di geometria dinamica (fine anni ’80, inizio anni ’90 del secolo scorso).

Per la scuola italiana si trattava di un periodo di forte transizione e sperimentazione, specialmente per l’insegnamento della matematica. Nei corsi sperimentali si era affermata una didattica laboratoriale centrata principalmente su costruzione di algoritmi e programmazione. Il software di Geometria dinamica Cabri era ancora oggetto di dibattiti e di incontri di formazione.

I corsi tradizionali rimanevano ancorati, ufficialmente, ai vecchi programmi di stampo gentiliano ma «sul campo» i docenti non erano insensibili alle proposte innovative dei metodi e dei contenuti. Alcuni stimoli provenivano spesso dalle tracce degli esami di maturità.

Il teorema di Marion fece il suo ingresso, in incognito, nel testo di un problema assegnato all’Esame di maturità del 1995, proprio nel corso di ordinamento.

L’accoglienza da parte degli studenti e anche da parte di alcuni docenti, non è stata, però, delle più entusiastiche.

I candidati hanno incontrato varie difficoltà, specialmente nella scelta delle strategie risolutive, i docenti hanno evidenziato alcune criticità nella formulazione del testo.

Il quesito mantiene comunque una sua attualità come tema per una didattica laboratoriale articolata: costruzione della figura – congettura – dimostrazione.

Inoltre, la rilettura completa della traccia, a distanza di qualche anno, offre l’occasione di un confronto sui mutamenti degli obiettivi didattici e sul loro legame con le tracce proposte negli esami di Stato.

Problema 1- Punto a)

È evidente che si chiede di dimostrare il teorema di Marion utilizzando un triangolo equilatero (si tratta comunque di dimostrare una proprietà relativa al rapporto tra due aree, quindi invariante rispetto ad una trasformazione affine). La presenza del triangolo equilatero favorisce la risoluzione per via analitica o trigonometrica, andando però incontro a una certa complessità nei calcoli.

La via geometrica, senz’altro quella congeniale al problema, presuppone solo conoscenze di base ma richiede chiarezza e rigore dimostrativo.

Da non sottovalutare, inoltre, il tranello dell’esagono equilatero ma non equiangolo, in qualche caso scambiato per un esagono regolare.

I commenti dei candidati evidenziavano soprattutto un certo disorientamento di fronte a una traccia «diversa dal solito» e a una pluralità di scelte nell’approccio risolutivo.

Nei commenti sui quotidiani si parlava di «rompicapo» e di «studenti bloccati per 5 ore su un quesito irresolubile».

Degna di attenzione è anche la formulazione del punto b.

L’introduzione della «lunghezza assegnata» è stata giudicata incomprensibile e fuorviante ma, in effetti, è la parte più interessante del problema e induce un ulteriore approfondimento.

Nella prima parte, come si è già osservato, era richiesto un rapporto tra aree e, pertanto, non era necessario introdurre le unità di misura. Nel punto \(b\) si chiede il calcolo di un volume e il parametro \(h\) rappresenta una lunghezza assegnata, in funzione della quale esprimere le altre lunghezze.

Ovviamente chi risolve il problema col metodo delle coordinate è costretto ad effettuare un confronto con l’unità di misura del riferimento cartesiano precedentemente adottato.

Il terzo punto si riferisce ad una ben nota applicazione del calcolo integrale per determinare il volume dei solidi di rotazione ed è difficile pensare che molti studenti non siano riusciti ad arrivare al risultato.

Solitamente il primo approccio didattico è proprio quello richiesto dal problema, al fine di dimostrare agli studenti come gli integrali possano validare formule geometriche già note fin dalle scuole medie (come il volume del cono, della sfera o del tronco di cono), offrendo poi una potente generalizzazione per altre forme.

Trent’anni fa, però, non era così scontato che l’argomento fosse stato adeguatamente trattato nel percorso didattico della classe e la sua presenza nelle prove d’esame non era ancora enfatizzata come avvenne negli anni successivi.

Senza alcuna contestualizzazione geometrica preventiva, un candidato che non avesse già memorizzato o assimilato il teorema dei volumi di rotazione si trovava davanti a due ostacoli: la natura di \(f(x)\) e il significato degli estremi di integrazione.

• Si allegano il testo completo della traccia d’esame e la soluzione del Problema 1
• Il punto a) è stato affrontato per via esclusivamente geometrica sfruttando, in particolare, le 6 isometrie che mutano in sé il triangolo equilatero. Soluzione
• Soluzione punti b e c