Un quesito di algebra della maturità 2015 formulato nel linguaggio delle funzioni. Un esercizio semplice ma ricco di spunti didattici, affrontato in più modi.
Nella storia della seconda prova scritta della maturità scientifica, il 2015 rappresenta un momento di passaggio importante: è il primo anno in cui le Indicazioni Nazionali entrano a pieno regime. Le tracce di quell’anno riflettono bene questa fase singolare: da un lato introducono elementi di “novità”, dall’altro mantengono, in misura preponderante, lo stile e i contenuti del percorso avviato nel 2001 con la nuova struttura della prova articolata in problemi e quesiti.
In precedenti articoli, elaborati insieme a ChatGPT, abbiamo già analizzato due dei quesiti della sessione 2015 quali esempi di continuità con l’impianto di quel quindicennio di innovazioni che aveva caratterizzato la seconda prova.
Il primo è un problema storico di massimizzazione, proposto nel 1547 da Ludovico Ferrari a Niccolò Tartaglia:
“Si divida il numero 8 in due numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per l’altro e per la loro differenza”.
Un quesito antico ma sorprendentemente attuale, che abbiamo affrontato in più modi per evidenziarne il valore didattico.
Il secondo riguarda lo studio di una funzione quadratica, definita da
\[
f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2+(x-4)^2+(x-5)^2,
\]
per la quale occorreva determinare il minimo. Anche in questo caso, la ricchezza delle strategie risolutive ha messo in luce l’efficacia di quesiti densi di significato matematico.
Adesso ne affrontiamo un terzo, forse il più semplice ma non per questo meno interessante dal punto di vista didattico specie se si tiene conto del linguaggio e delle notazioni impiegate:
Quesito (2015, Calendario boreale)
Sia \(P(x) = x^2+bx+c\). Si suppone che \(P(P(1)) = P(P(2)) = 0\) e che \(P(1)\neq P(2)\). Calcolare \(P(0)\).
Soluzione diretta
Le condizioni \(P(P(1))=0\) e \(P(P(2))=0\) significano che \(P(1)\) e \(P(2)\) sono radici di \(P\). Chiamiamole \(r_1\) e \(r_2\). Allora
\[
P(x)=(x-r_1)(x-r_2)=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2,
\]
e per confronto dei coefficienti
\[
b=-(r_1+r_2),\qquad c=r_1r_2.
\]
D’altra parte
\[
P(1)=1+b+c,\qquad P(2)=4+2b+c,
\]
e l’insieme \(\{P(1),P(2)\}\) coincide con \(\{r_1,r_2\}\). Quindi, applicando somma e prodotto delle radici,
\[
r_1+r_2=(1+b+c)+(4+2b+c)=5+3b+2c=-b \ \Rightarrow\ 4b+2c=-5,
\]
\[
r_1r_2=P(1)\,P(2)=(1+b+c)(4+2b+c)=c.
\]
Risolvendo il sistema si ottiene
\[
b=-\tfrac{1}{2},\qquad c=-\tfrac{3}{2},
\]
e dunque
\[
\boxed{P(0)=c=-\tfrac{3}{2}}.
\]
Verifica: \(P(1)=1-\tfrac12-\tfrac32=-1\), \(P(2)=4-1-\tfrac32=\tfrac32\); infatti \(P(-1)=0\) e \(P\!\left(\tfrac32\right)=0\).
Vie alternative
1) Imponiamo direttamente che le immagini siano radici:
\[
(P(1))^2+b\,P(1)+c=0,\qquad (P(2))^2+b\,P(2)+c=0,
\]
con \(P(1)=1+b+c\), \(P(2)=4+2b+c\). Sottraendo membro a membro, i termini quadratici si semplificano e si ottiene subito
\[
4b+2c=-5.
\]
Da qui, sostituendo in una delle due equazioni, si ricava \(b=-\tfrac12\), \(c=-\tfrac32\).
2) Poniamo \(P(x)=(x-u)(x-v)\) con \(u\neq v\). Le ipotesi implicano che \(\{P(1),P(2)\}=\{u,v\}\).
Ad esempio, se \(P(1)=u\), \(P(2)=v\), si ottiene
\[
(1-u)(1-v)=u,\qquad (2-u)(2-v)=v.
\]
Lavorando con \(S=u+v\) e \(Q=uv\), si deduce la stessa relazione \(4b+2c=-5\) e la soluzione finale coincide con quella diretta.
3) Definiamo \(s=b+c\), \(t=2b+c\). Allora
\[
P(1)=1+s,\qquad P(2)=4+t.
\]
La condizione sulle radici porta a \(t=-\tfrac52\). Da qui, poche sostituzioni permettono di trovare ancora una volta \(b=-\tfrac12\), \(c=-\tfrac32\).
Via grafica
La parabola
\[
P(x)=x^2-\tfrac12 x-\tfrac32
\]
ha radici in \(-1\) e \(1.5\). Si osserva che
\[
P(1)=-1,\qquad P(2)=1.5,
\]
ossia le ordinate in \(x=1\) e \(x=2\) coincidono con le ascisse degli zeri della parabola.
La lettura grafica dell’intercetta
\[
P(0)=c=-\tfrac32
\]
conferma il risultato.
Conclusione
Il risultato finale è
\[
\boxed{P(0)=-\tfrac32}.
\]
Un esercizio che dimostra come l’algebra con il suo simbolismo sappia aprire molte strade e offrire spunti preziosi per l’insegnamento e l’apprendimento.
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