Iterando l’operazione di ritagliare da un rettangolo aureo il quadrato massimo che cosa rimane del rettangolo di partenza?
Il rettangolo di partenza ha i lati a e b, a>b, ed è aureo. I lati a e b soddisfano cioè la proporzione a:b=b:(a-b)
Dal rettangolo si ritaglia il quadrato di lato b. Dal rettangolo che rimane si ritaglia ancora il quadrato massimo. Si continua togliendo quadrati. Nei successivi tagli il rapporto a:b si mantiene inviariato. I rettangoli che rimangano sono sempre più piccoli, ma sempre aurei.
Si ricorda che l’equazione , risolta rispetto a
ha per soluzione il numero aureo
che è circa 0,618.
Nell’immagine viene illustrata la sequenza dei primi sei tagli del rettangolo aureo (fai click sulla figura)
L’idea è questa: dopo ogni taglio valutiamo le nuove dimensioni del rettangolo. Dove tendono?
Effettuiamo il primo taglio (verticale) BA1 e poniamo x1=OA1=aφ. Il rettangolo BCA0A1 è aureo, pertanto, quindi
.
Effettuiamo il secondo taglio (orizzontale), si ottiene DB1. Il rettangolo EDA1A0 è aureo quindi quindi
Procedendo in questo modo i segmenti che si formano nei successivi tagli si ottengono moltiplicando ad ogni iterazione per φ (fai click sulla figura)
Ora indichiamo con , le lunghezze dei segmenti orizzontali e con
, le lunghezze dei segmenti verticali. Costruiamo una tabella
indice i | xi | yi |
1 | x1=OA1=aφ | y1=OB1=aφ-aφ2 |
2 | x2=OA2=a-aφ3 | y2=OB2= aφ4 |
3 | x3=OA3= aφ+aφ5 | y3=OB3=aφ-aφ2-aφ6 |
4 | x4=OA4=a-aφ3-aφ7 | y4=OB4= aφ4+aφ8 |
5 | x5=OA5=aφ+aφ5+aφ9 | y5=OB5=aφ-aφ2-aφ6-aφ10 |
6 | x6=OA6=a-aφ3-aφ7-aφ11 | y6=OB6=aφ4+aφ8+aφ12 |
… | … | … |
Dalla tabella si vede che le lunghezze dei segmenti orizzontali di indice dispari formano una successione crescente. Consideriamo la somma
e calcoliamo la somma dei termini della progressione geometrica di ragione , ricordando che
:
Ricordando che si ha
Analogamente, consideriamo la successione dei segmenti orizzontali di indice pari
Anche in questo caso
Con lo stesso procedimento, consideriamo ora la successione (crescente) delle lunghezze dei segmenti verticali di indice pari
Infine consideriamo la successione (decrescente) delle lunghezze dei segmenti verticali di indice dispari
In definitiva ciò che rimane del rettangolo è il punto
Il punto è noto come l’Occhio di Dio.
È una specie di buco nero nel quale convergono gli infiniti rettangoli aurei. Tuttavia la particolarità di questo problema di posto da Hugo Steinhaus (1887-1972) [in Cento problemi di matematica, Boringhieri, 1987] è stata deliziosamente espressa da Franco Conti (1943-2003):
Il senso del problema non è certo nella affermazione che dopo infiniti tagli (operazione fisicamente ma anche logicamente impossibile) del rettangolo originario rimane il solo punto P; si basa invece su un fatto assai concreto e semplice: comunque si fissi un ε>0 dopo un certo numero di tagli si otterrà un rettangolo che contiene il punto P e ha i lati minori di ε ( il numero di tagli necessari dipende ovviamente da ε e può essere molto grande se si assume ε piccolo). Ogni altro punto del rettangolo iniziale viene invece, prima o poi, “tagliato via”.
Il problema costituisce pertanto anche un eccellente esempio, “concreto ma non banale”, per illustrare e motivare la nozione di limite.
Riferimenti nel sito:
- Costruire la sezione aurea di un segmento. a cura di Patrizia Gioffreda e Tania Graziosi
- Approfondimento geometrico: la sezione aurea (Annalisa Santini)
- Sezione aurea- costruzione geometrica (Pasqualina Ventrone)
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