Ecco un problema! Ne discutiamo?

Un laboratorio a distanza per fare matematica. Attività per la “classe”, anche remota: ecco un problema! Ne discutiamo?

Il problema si trova in FLATlandia: un progetto che da tempo svolge una meritoria azione di stimolo alla risoluzione di problemi.

È un problema che appartiene alla tradizione dell’insegnamento della geometria razionale nella scuola secondaria di secondo grado. Ha l’aroma e il sapore della geometria sintetica. Una specialità una volta ritenuta decisamente molto più gustosa. Ragione di più per discuterne.

Il triangolo ABC è equilatero. O è il suo baricentro. Una circonferenza passa per A e per O. Se questa interseca in M e N i lati AB e AC, è vero che AM=CN?

Vediamo con il disegno. Gli angoli MAO e OCN sono uguali. Sono di 30°. Sono uguali anche gli archi ad essi opposti e uguali sono le corde sottese: MO=ON. Ma è anche CO=AO e uguali sono gli angoli AMO e CNO (supplementari dello stesso angolo ONA). In effetti i due triangoli AMO e CNO hanno lati e angoli ordinatamente uguali. Quindi è proprio vero che AM=NC.

Un modo per rinverdire proprietà delle corde e degli angoli di un cerchio: un capitoletto tra i più gradevoli.

1. Esistono, ovviamente, altre vie risolutive.
2. Un software – es: Geogebra – potrà far “cogliere” la molteplicità delle circonferenze passanti per A e O, il luogo dei loro centri, quelle che intersecano i lati e quali ne sono i punti estremi.
3. Non si dovrebbe però perdere l’occasione di fare qualche tentativo di disegno a mano libera (sempre utile esercitazione) o di disegno con righello e compasso. Né andrebbe persa l’occasione di ricordare che il primo dei 465 teoremi degli Elementi di Euclide è: Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero. La costruibilità assicura l’esistenza!
4. Il problema potrebbe essere proposto:

1. 1. Senza alcun disegno.
   2. Elencando gli ingredienti: triangolo equilatero, baricentro O, circonferenza per vertice e O, intersezioni M e N. Obiettivo: arrivare a formulare un problema.
   3. Con la conoscenza iniziale che AM=MN, per concludere che la circonferenza per essi passa anche per A e O.
   4. Se il triangolo non è equilatero ma isoscele sulla base BC? In che modo potremmo studiare come varia il rapporto AM/AN?
   5. Introdurre un sistema di riferimento cartesiano conveniente e trasformare in equazioni.
   6. Altri poligoni regolari di partenza: quadrato, pentagono,….