La fine di una congettura di Eulero. Dalle passeggiate sui ponti di Königsberg ai giochi ricreativi sulla scacchiera e ai quadrati latini.
Matematica per istantanee di Hugo Steinhaus è un libro dal quale non si smette di attingere. L’edizione originale polacca del libro è del 1938, ma il suo contenuto, le sue “istantanee” ancora si distinguono, come ebbe a scrivere Morris Kline, presentandone l’edizione inglese, per il loro valore di buona matematica. Alcune pagine del primo capitolo, H. Steinhaus le dedica ad una succinta rassegna di problemi sulla scacchiera. Vi include anche i tour del cavallo e un problema ricreativo formulato da Eulero nello spirito militaresco di quell’epoca governata da Federico il Grande di Prussia e dalle sue predilezioni per eserciti, reggimenti e ufficiali.
Il problema appare analogo per certi versi a quello che Eulero propose riferito alle sue passeggiate a Königsberg ove s’impegnava a percorsi che gli consentivano di attraversarne i 7 ponti sul Pregel una e una sola volta. Lo formulò, secondo quanto riporta Pierre Rosenstiehl in Combinatoria, Enciclopedia Einaudi 1978, quasi alla fine della sua prolifica vita di matematico, nel 1782.
Il problema:
si possono disporre 36 ufficiali di 6 gradi diversi e di 6 reggimenti diversi in una formazione quadrata in modo che ogni riga ed ogni colonna di questa formazione contenga uno e un solo ufficiale di ogni grado e un e un solo ufficiale di ogni reggimento?
La figura è in H. Steinhaus: è un quadrato latino
Se si numerano i gradi ed i reggimenti da 1 a 6, si può associare ad ogni ufficiale una coppia (i, j) ove i è il numero del suo grado e j quello del suo reggimento, da cui 36 coppie distinte. Si è allora condotti a costruire due quadrati latini ortogonali di ordine 6.
Eulero congetturò che una tale configurazione è impossibile, e che, più in generale, se n ≡ 2 (mod. 4) non esistono due quadrati latini ortogonali di ordine n. Tarry nel 1900 verificò enumerando tutti i casi possibili che non esistono due quadrati latini ortogonali di ordine 6. Ma in seguito, nel 1960, Bose, Shrikhande e Parker hanno mostrato che la congettura di Eulero è, eccetto che per n=6, falsa.
NOTA
Le “voci” dell’Enciclopedia Einaudi che portano la firma di Pierre Rosenstiehl sono oltre a Combinatoria, Grafi, Labirinti e Rete che costituiscono un contributo notevole alla letteratura matematica.
Solitamente per “congettura di Eulero” s’intende una congettura ben più importante, “non ricreativa”. La congettura cioè che è collegata all’ultimo teorema di Fermat e proposta da Eulero nel 1769. Essa afferma che per ogni intero n > 2, la somma di n − 1 potenze n-esime di interi positivi non può uguagliare una potenza n-esima.
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