Dalle esperienze degli anni Ottanta alla didattica di oggi: il tasto 1/x come strumento per fare matematica in classe
Basta una conversazione con un giovane docente per rendersi conto che, nel rinnovamento continuo della didattica, c’è sempre qualcosa che si guadagna, ma anche qualcosa che si perde. E ricordarlo non è inutile, specie oggi, mentre si discute il testo delle Nuove Indicazioni Nazionali per i Licei. Indicazioni che, per come sono presentate sul sito del Ministero, sembrano prive di memoria, come se la didattica della matematica potesse essere reinventata ogni volta da capo, senza storia e senza radici.
È stato proprio dialogando che mi è tornato alla mente un uso estremamente semplice, e sorprendentemente potente, della calcolatrice.
Erano i primi anni Ottanta, e il tema dell’uso della calcolatrice in classe era al centro del dibattito sul rinnovamento della didattica della matematica. In quel contesto, ebbi modo di riflettere e sperimentare con le mie classi del biennio del liceo scientifico e scrivere sull’argomento in alcuni articoli pubblicati sul Periodico di Matematiche, e in modo più ampio in: "Il ruolo del computer" nel numero 1987/1.
Tra le varie possibilità offerte dalla calcolatrice, una in particolare si rivelava sorprendentemente ricca dal punto di vista didattico: il tasto 1/x.
L’idea è semplice: dato un numero, si sottrae la sua parte intera e si prende il reciproco. Ripetendo il procedimento si ottiene lo sviluppo in frazione continua.
È un algoritmo elementare, ma estremamente istruttivo. Consideriamo un caso semplice, utile per cogliere immediatamente il funzionamento del procedimento:
\[
\frac{15}{8} = 1{,}875
\]
Procediamo:
\[
\frac{1}{1{,}875 - 1} = 1{,}1428571
\]
\[
\frac{1}{1{,}1428571 - 1} = 7
\]
Si ottiene così:
\[
\frac{15}{8} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{7}}
\]
Il processo si arresta rapidamente: la frazione continua è finita.
Ma è proprio quando il procedimento si prolunga che la sua struttura diventa più evidente. Consideriamo allora un altro esempio:
\[
\frac{23}{14} = 1{,}6428571
\]
Procediamo:
\[
\frac{1}{1{,}6428571 - 1} = 1{,}5555555
\]
\[
\frac{1}{1{,}5555555 - 1} = 1{,}8
\]
\[
\frac{1}{1{,}8 - 1} = 1{,}25
\]
\[
\frac{1}{1{,}25 - 1} = 4
\]
Si ottiene così:
\[
\frac{23}{14} =
1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4}}}}
\]
In questo caso il procedimento richiede più passaggi, ma si arresta comunque: anche qui la frazione continua è finita, come è naturale per un numero razionale.
Ed è proprio a questo punto che il quadro cambia radicalmente. Che cosa accade se il procedimento non si arresta?
Consideriamo ora:
\[
\sqrt{3} = 1{,}7320508
\]
Ripetiamo lo stesso procedimento:
\[
\frac{1}{1{,}7320508 - 1} = 1{,}3660254
\]
\[
\frac{1}{1{,}3660254 - 1} = 2{,}7320508
\]
\[
\frac{1}{2{,}7320508 - 2} = 1{,}3660254
\]
A questo punto i valori cominciano a ripetersi: il processo non si chiude, ma entra in un ciclo.
Si ottiene quindi:
\[
\sqrt{3} =
1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \cdots}}}}
\]
La calcolatrice “riconosce” i numeri?
Già negli anni Ottanta emergeva una domanda interessante: i numeri macchina sono tutti razionali, eppure la calcolatrice sembra “distinguere” tra razionali e irrazionali.
Infatti, nel caso di un razionale, il procedimento termina; nel caso di un irrazionale, produce una struttura infinita e, nel caso di \(\sqrt{3}\), anche periodica.
Non si tratta, ovviamente, di una “comprensione” da parte della macchina, ma di un effetto dell’algoritmo applicato: è il processo che rende visibile una differenza strutturale tra i numeri. Al riguardo ricordo cun esempio magico, capace di generare autentico stupore: bastava digitare il valore approssimato del numero d’oro:
\[
\phi \approx 1{,}6180339
\]
Sottraendo la parte intera (1) e premendo il tasto 1/x, si ottiene… ancora lo stesso numero.
\[
\frac{1}{\phi - 1} = \phi
\]
È l’unico numero positivo che, privato della sua unità, coincide con il proprio reciproco.
La sua frazione continua è la più semplice e, al tempo stesso, la più armoniosa possibile: una successione infinita di soli 1.
\[
\phi =
1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
\]
Queste esperienze, realizzate in classe più di quarant’anni fa, conservano ancora oggi un grande valore didattico.
Con un semplice strumento e un algoritmo elementare, lo studente può costruire esempi, osservare regolarità, formulare congetture, distinguere comportamenti matematici profondi.
Il problema, oggi come allora, non è lo strumento, ma l’uso che se ne fa. Anche la calcolatrice, troppo spesso confinata al calcolo automatico, può diventare uno strumento di esplorazione capace di far emergere strutture matematiche che altrimenti resterebbero invisibili.
Recuperare pratiche semplici, essenziali, come questa, non significa guardare indietro con nostalgia, ma riconoscere ciò che, nel tempo, ha mostrato di funzionare davvero.
Il tasto 1/x, apparentemente banale, diventa così un’occasione per riportare la matematica al suo nucleo più autentico: non solo tecnica, ma esplorazione, struttura, pensiero. E per questo per non ci volevano Nuove Indicazioni Nazionali.
Si può ancora osservare infatti che questo gioco di sottrazioni e reciproci non è un artificio moderno: è, sotto mentite spoglie, l’algoritmo di Euclide.
Quando cerchiamo il M.C.D. tra due numeri, procediamo per divisioni successive annotando i quozienti; con il tasto 1/x facciamo, in sostanza, la stessa cosa. I numeri interi che “stacchiamo” a ogni passaggio dello sviluppo in frazione continua sono precisamente i quozienti delle divisioni euclidee.
La differenza è profonda: per i numeri razionali questo processo deve necessariamente terminare, quando il resto si annulla; per un irrazionale come \(\sqrt{3}\), invece, il “resto” non diventa mai zero.
È come tentare di misurare il lato di un quadrato usando la sua diagonale come unità di misura: non si troverà mai una sottomisura comune.
Il tasto 1/x rende visibile, in un palmo di mano, questa antica idea greca di incommensurabilità.
C'è però un limite in questa esplorazione che non va sottaciuto. Poiché la calcolatrice lavora con un numero finito di cifre decimali, l'errore di arrotondamento si accumula a ogni passaggio. Dopo molte iterazioni, anche lo sviluppo di $\sqrt{3}$ inizierà a produrre valori errati, perdendo la sua periodicità. Lontano dall'essere un difetto dello strumento, questo fenomeno diventa un'occasione didattica per discutere l'approssimazione numerica e l'instabilità degli algoritmi: una bella lezione di informatica e analisi numerica integrate.
COMMENTS