La formula di Eulero, un ponte tra Algebra e Geometria che illumina la profonda unità della matematica.
La formula di Eulero
è paragonabile alla sommità di un monte da cui è possibile godere di un ampio panorama e scorgervi conformazioni e simiglianze altrimenti inimmaginabili. Se cambiamo x in –x. Abbiamo:
E, sommando membro a membro:
Il risultato è notevole. Lo è perché il coseno e il seno sono i personaggi fondamentali della trigonometria che siamo abituati a vedere e a definire in ambito geometrico: come rapporti di ciascuno dei due cateti all’ipotenusa di un triangolo rettangolo o, più semplicemente e rapidamente, come coor
dinate di un punto della circonferenza unitaria. Sono le modalità didattiche seguite per introdurre lo studio di questo storico capitolo della matematica e che sono state oggetto di tante riflessioni e sperimentazioni.
Adesso le cose cambiano. Il riferimento alla geometria non c’è. Si perde. Coseno e seno sono definiti unicamente in termini di algebra e operando algebricamente è possibile ri-costruire identità e formule della trigonometria. A partire dalla fondamentalissima:
Infatti è:
E così si può proseguire per tutte le altre identità e formule della trigonometria. C’è una riduzione della Trigonometria all’Algebra. Ma “riduzione” in sé è termine limitativo, dà il senso della perdita di qualcosa, mentre invece c’è un arricchimento, c’è l’unità della matematica che risalta e la formula di Eulero che apre un solido ponte tra Algebra e Geometria entrambe chiavi per entrare nel palazzo della Trigonometria.
ALTRI RIFERIMENTI
Da De Moivre a Eulero e viceversa.
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