Ogni esercizio aritmetico può diventare uno spunto didattico: anche questo, dedicato alla macchina che trasforma numeri in numeri, ma 384 lo restituisce invariato.
Devo all’amico prof. Sergio Casiraghi, che ancora ringrazio per il sostegno e i preziosi consigli, l’avermi ricordato l’articolo Esercizi di riscaldamento in vista dell’inizio delle lezioni con il suo contenuto più significativo.
Come spesso accade, ogni esercizio è una buona fonte di riflessioni didattiche: invita l’insegnante a cercare altri legami e approdi, ma anche espressioni e modi di dire più precisi e stimolanti.
A tale riguardo, ad esempio, il primo degli esercizi proposti in quell’articolo sollecita qualche integrazione — a cominciare dal testo — che riformuliamo così:
“Sia \(A\) un numero naturale. Calcolate il prodotto delle sue cifre e moltiplicatelo per 4.
Esiste un numero \(A\) per cui il risultato finale è \(A\) stesso?”
L’esercizio è bello nella formulazione e adatto anche alla scuola media, soprattutto se lo si accompagna con una vena narrativa capace di incuriosire la classe. Si può, ad esempio, immaginare una macchina che trasformi un numero in ingresso in un altro in uscita secondo questa regola precisa:
- prende il numero,
- ne calcola il prodotto delle cifre,
- e poi moltiplica quel prodotto per 4.
In questa versione operativa, la macchina diventa l’equivalente didattico di una funzione: un dispositivo che ad ogni numero in ingresso fa corrispondere un numero in uscita. Il linguaggio può diventare più elevato, più preciso e formale: se indichiamo con f la macchina, allora a ogni numero \(A\) in ingresso corrisponde uno e un solo valore \(f(A)\) in uscita.
La domanda diventa allora: esiste un numero naturale che, inserito nella macchina, rimane invariato? Esiste un \(A\) per cui \(f(A)=A\)? In altre parole, si tratta di individuare un punto fisso ( si dice anche unito) della funzione definita da
\[ f(A) = 4\times(\text{prodotto delle cifre di }A) \]
Gli studenti della scuola media sanno operare con questa idea, divertirsi a verificare le diverse uscite e a ragionarci sopra; ma è difficile che giungano spontaneamente alla soluzione, 384, se questa non viene loro suggerita dal maestro.
La dimostrazione richiede infatti un po’ più di impegno: il ragionamento che segue è però in gran parte sperimentale, fatto di tentativi, verifiche e aggiustamenti progressivi.
Verso la scoperta di 384
L’obiettivo è dunque trovare il naturale \(A>0\) tale che \(A = 4\times(\text{prodotto delle sue cifre})\).
1. Esclusioni preliminari
- Se \(A\) contiene la cifra 0, il prodotto delle cifre è 0 ⇒ impossibile.
- Se \(A\) contiene la cifra 5, allora \(4P\) termina per 0 cioè \(f(A)=0\) qualsiasi sia \(A\) in ingresso
Quindi nessuna cifra può essere 0 o 5, e l’ultima cifra dev’essere pari (perché \(A\) è multiplo di 4).
2. Una e due cifre
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- Se il numero ha una sola cifra \(d\), la macchina calcola \(f(d) = 4d\).
Perché il risultato coincida con il numero di partenza occorrerebbe che \(4d = d\), ma ciò avviene solo per \(d = 0\), che è da escludere. - Se il numero ha due cifre, cioè \(A = 10a + b\), la condizione da verificare diventa \(4 \times a \times b = 10a + b\).
È facile verificare che questa uguaglianza non può valere per nessuna coppia di cifre \(a, b \in \{1, \dots, 9\}\): non esiste quindi alcun numero a due cifre per cui \(A = f(A)\).
- Se il numero ha una sola cifra \(d\), la macchina calcola \(f(d) = 4d\).
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Serve quindi cercare tra i numeri a tre cifre.
3. Il caso delle tre cifre
Sia \(A = 100a + 10b + c\), con \(a \neq 0\).
\[ 4 \times a \times b \times c = 100a + 10b + c \]
Da questa relazione si può osservare che, poiché il numero \(A\) non può superare 999 allora \(4 \times a \times b \times c \le 999\), e quindi \(a \times b \times c \le 249\).
D’altra parte, per ottenere un numero di tre cifre, il prodotto \(b \times c\) non può essere troppo piccolo: affinché \(4 \times a \times b \times c\) superi almeno 100, occorre che \(b \times c \ge 25\).
L’analisi per l’ultima cifra \(c \in \{2,4,6,8\}\) mostra che i casi 2, 6, 8 non portano a risultati interi coerenti. Il caso \(c=4\) invece funziona perfettamente.
Sostituendo \(c = 4\) nell’equazione si ottiene: \[
4 \times a \times b \times 4 = 100a + 10b + 4,
\]
cioè \[
a(16b – 100) = 10b + 4.
\]
Perché questa relazione sia soddisfatta con \(a\) intero, il termine \(10b + 4\) deve essere divisibile per \(16b – 100\).
Provando i valori interi di \(b\) tra 1 e 9, solo per \(b = 8\) il rapporto
\[
\frac{10b + 4}{16b – 100} = \frac{84}{28} = 3
\]
è intero, e quindi \(a = 3\).
Ne risulta \(A = 384\), e in effetti \(3 \times 8 \times 4 = 96\) e \(4 \times 96 = 384\).
Un numero unico nel suo genere
L’analisi può proseguire con numeri di quattro o più cifre, ma le ricerche effettuate — anche per via computazionale — mostrano che non esistono altri numeri con questa proprietà.
384 è l’unico numero naturale positivo che, moltiplicando per 4 il prodotto delle proprie cifre, restituisce il numero di partenza.
Uno spunto per la didattica
Questo “piccolo” problema è un esempio di come il lavoro in classe possa estendersi e abbracciare i diversi argomenti della progettazione didattica riconducendoli all’esperienza del fare matematica.
La sua semplicità aritmetica è solo un punto di partenza: è come il seme di un’orbita di pensiero che porta altrove, anche a rovesciare semplicemente la domanda iniziale.
Invece di chiedersi “Esiste un \(A\) tale che \(A = f(A)\)?”, ci si può domandare:
“Esiste una funzione \(f\) tale che \(A = f(A)\)?”
In questo modo il concetto di funzione diventa ancor più protagonista: è il funzionamento della macchina che deve essere inventato.
La risposta non è unica: \(f\) può essere la funzione identica, ma anche quella del nostro esempio — la funzione che a ogni numero \(A\) in ingresso fa corrispondere il quadruplo del prodotto delle sue cifre. E non c’è limite alle funzioni, né agli esercizi, inventabili.
Da qui si può proseguire, ampliando il discorso al trattamento ricorsivo della funzione \(f\). Una volta introdotto in macchina \(A\) e ottenuto \(f(A)\), questo \(f(A)\) si può rimettere in macchina per ottenere l’immagine dell’immagine? Cioè \(f^2(A)\)?
Si apre allora una finestra importante che permette di precisare ulteriormente che una funzione non è solo una legge di corrispondenza, ma richiede di specificare anche gli insiemi che mette in corrispondenza:
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- l’insieme sorgente, dei dati in ingresso (il dominio),
- e l’insieme bersaglio o di arrivo (il codominio).
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A questo punto diventano possibili altri esercizi:
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- Esiste una funzione \(f\) per cui \(f^2(384) = 384\)?
- Qual è la funzione \(h\) tale che, per ogni \(x\), \(h^2(x) = x\)?
- O ancora: qual è la funzione \(k\) tale che \(k^2(x) = -x\)?
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Domande come queste allargano l’orizzonte, spingendo gli studenti a pensare non solo con la funzione, ma sulla funzione: un terreno fertile, tutto da esplorare e ne offriremo un esempio in un prossimo articolo.
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