Esercizi di riscaldamento per l’inizio d’anno

Esercizi di riscaldamento in vista dell’inizio delle lezioni del nuovo anno scolastico. Numeri e polinomi, l’algoritmico e il dialettico.

Per divertirsi con i numeri un esercizio da fare fino ad ottenere l’uguaglianza cercata e poi decidere se continuare o smettere.

Prendete un numero intero positivo. Fate il prodotto delle sue cifre e moltiplicate il risultato per 4.

Ripetete l’esercizio fino a quando non avrete ottenuto che il prodotto finale è il numero di partenza ovvero che questo non è altro che il quadruplo del prodotto della sue cifre.

Se siete portati ad affrontare i problemi in modo sistematico, con ordine e metodo, potreste pensare di iniziare il vostro esercizio partendo da 1 e verificare che:

1 ≠ 4;  2≠8;  3≠12

………………………

11 ≠ 4·1·1;  12≠4·1·2;  13 ≠ 4·1·3; 14 ≠ 4·1·4; 15 ≠4·1·5……………

21 ≠ 4· 2· 1;  22 ≠4·2·2………………………………………..

…………………………………. 381≠4·3·8·1 = 96………

384 = 4 · (3·8·4)

Trovato! L’uguaglianza c’è! A questo punto ci sta bene chiedersi:

Oltre 384 quali altri numeri eguagliano il quadruplo del prodotto delle sue cifre?

Si può proseguire, provando e riprovando, …oppure un atto di fede, credere al Maestro: 384 è l’unico numero che è uguale al quadruplo del prodotto delle sue cifre. Altrimenti si può imboccare la via della dimostrazione. Tutta la matematica è un continuo dover dimostrare!

L’esercizio che segue è meno aritmetico, più tecnico; tende a chiamare in causa il ragionamento, l’aspetto dialettico rispetto all’algoritmico. Eccolo:

Qual è il resto della divisione di x³ +x⁵ + x⁷ + x¹¹ + x¹³ + x¹⁷ + x¹⁹ per x² − 1?

A provocare un iniziale disorientamento contribuiscono il 19-esimo grado del polinomio dividendo P(x) e il diverso ordine, crescente per il dividendo, decrescente per il divisore D(x). In più, gli esponenti in P(x), tutti numeri primi, sembrano importanti. Non lo sono. Se vengono sostituiti da sette interi positivi dispari qualsiasi, il risultato rimane lo  stesso.

A vincere l’iniziale disorientamento e a risparmiare tempo può dunque valere ricondursi al significato dell’operazione di divisione:

P(x) = Q(x)·D(x) + R(x)

ed osservare che nel caso specifico è:

P(x) = Q(x)·(x-1)·(x+1) + R(x)

dove R(x), se non è il polinomio nullo, è di primo grado, ovvero è R(x) = ax+b e quindi:

7 = P(1) = R(1) = a+b

-7 = P(-1) = R(1) = -a+b

il resto richiesto è R(x)=7x.

Ancora sui polinomi:

Del polinomio P(x) si sa che è di quarto grado, che è monico e che  P(2)=4, P(3)=9, P(4)=16, P(5)=25. Trovare P(x).

Si può partire affrontandolo brutalmente, in modo ortodosso, scrivendo:

P(x) = x⁴ +bx³ + cx² + dx + e

per poi imporre le condizioni assegnate e risolvere il sistema algebrico.

L’alternativa a questo modo di procedere meccanico può essere la soluzione dialettica: c’è il colpo d’ali che trae forza dall’osservazione delle regolarità. P(x) assume il valore x² per x = 2,3,4,5. Ciò significa che il polinomio P(x) – x²si annulla per x = 2,3,4,5, ovvero che:

P(x) – x² = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

e quindi il polinomio richiesto è:

P(x)  = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + x²

cioè:

P(x)  = x⁴ -14x³ + 72x² – 154x + 120

Qualche altro riferimento per esercizi sempre validi:

• Problemi montessoriani per imparare a risolverli
• Esercizi da risolvere in classe
• Esercizi di matematica sempre validi.
• Forme, pesi e volumi.
• Al cinema due problemi di aritmetica antica
• Dall’Algebra all’Analisi Matematica