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Forme, pesi e volumi.

Fare matematica in classe discutendo con gli studenti di problemi, formulazioni e vie risolutive e poi anche di costi, forme, pesi e volumi.

Problema

Al cinema Corso i prezzi dei biglietti d’ingresso sono i seguenti: 10 euro per gli adulti, 50 centesimi di euro per i pensionati, 10 centesimi di euro per i bambini. Questo pomeriggio sono stati venduti esattamente cento biglietti per un totale di 100 euro.  Quanti sono gli adulti, i bambini e i pensionati che hanno acquistato il biglietto?

La risposta

Indichiamo con A, P, B il numero di adulti, pensionati e bambini. Il numero totale di biglietti è A+P+B=100. L’incasso totale è 10A+0,1B+0,5P=100. Mettendo assieme le due equazioni si ha (99/4)A=225-P. Questa equazione ha in principio infinite soluzioni; osservando però che P è un numero intero e positivo ricaviamo l’informazione che (99/4)A è un numero intero e dunque A è un multiplo di 4. Gli adulti sono meno di dieci, altrimenti l’incasso sarebbe sicuramente inferiore a 100 euro, ma sono anche più di cinque altrimenti l’incasso sarebbe sicuramente inferiore a 100 euro. Dunque gli adulti sono otto. Una volta noto il numero degli adulti, dalle equazioni ricavate in precedenza si ottiene facilmente che i bambini sono sessantacinque e i pensionati ventisette.

Il problema e la risposta sono tratti da un libro piacevolissimo anche se non recentissimo: I segreti di Pitagora-Severamente vietato ai matematici, di Guido Trombetti e Giuseppe Zollo del 2010.

In verità la traccia del problema che si trova sul libro citato è la seguente:

In un cinema da cento posti, si vendono esattamente cento biglietti per un totale di 100 euro. I prezzi dei biglietti sono i seguenti: 10 euro per gli adulti, 50 centesimi di euro per i pensionati, 10 centesimi di euro per i bambini. Quanti adulti, bambini e pensionati potranno entrare?

È stata dunque leggermente variata. In particolare è stata soppressa l’informazione “100 posti”, non essenziale, e in sua vece ne sono state date altre due: “Questo pomeriggio” e “Corso” altrettanto inessenziali anche se, come la prima, contribuiscono a dare al testo una sorta di contestualizzazione. Sulla formulazione ovviamente si può intervenire in tanti modi ed è un aspetto che, dal punto di vista didattico, conviene sempre coltivare. Un utile riferimento al riguardo sono gli “esercizi di stile” alla Quenau.

Naturalmente, ugualmente interessanti sono le vie risolutive e le modifiche che si possono apportare alla procedura seguita dagli autori Trombetti-Zollo: dalla scelta delle incognite, all’uso dei decimali o delle frazioni, a come “mettere assieme le due equazioni” per arrivare ad una espressione formale che tra le  infinite soluzioni porti a individuare la sola possibile.

Tratto dallo stesso libro I segreti di Pitagora è anche il seguente problema:

Un contadino ha una cesta di arance. Se le conta a due a due ne avanza una. Se le conta a tre a tre ne avanza ancora una. Lo stesso accade contandole a quattro a quattro, a cinque a cinque, a sei a sei. Se invece le conta a sette a sette non ne avanza alcuna. Quante arance ha il contadino?

Ecco la risposta di Trombetti-Zollo:

La risposta non è unica ma è possibile dimostrare che 301 è il più piccolo numero possibile di arance. Essendo il numero di arance divisibile per 7 esiste un numero N tale che le arance risultino 7 volte N. Dai dati del problema il numero 7N-1 risulta divisibile per 2, 3, 4, 5, 6. In particolare 7N-1 è divisibile per il minimo comune multiplo che è 60. Se 7N-1 è divisibile per 60 allora l’ultima cifra sarà 0. Dunque 7N avrà come ultima cifra 1. Ciò è possibile solo se N termina con un 3.

Ricapitolando: esiste un numero L tale che 10L+3=N. Dunque 7N-1=70L+20 che è divisibile per 60 solo se 7L+2 è divisibile per 6. Il più piccolo numero naturale L per cui l’ultima condizione verificata è L= 4, da cui andando a ritroso si ricava che le arance sono 301. Esistono però infinite soluzioni, il procedimento di cui sopra consente di ricavare per il numero di arance la seguente formula generale; 420K+301 che per K=0, 1, 2,… restituisce le soluzioni 301, 721, 1141, ecc.

Il problema non è nuovo. Formulato in un modo diverso, con le uova al posto delle arance, lo si ritrova nei Problemi piacevoli e dilettevoli di Claude-Gaspar Bachet signore di Méziriac (1581 – 1638).

Una donna che porta un cesto di uova da vendere al mercato viene urtata da un uomo. Il cesto cade a terra e tutte le uova si rompono. L’uomo vuole ripagare la donna del danno subito e chiede il numero delle uova che erano nel cesto. La donna risponde che non lo sa, ricorda però che contandole due a due ne rimaneva 1, e analogamente contandole tre a tre, o quattro a quattro, o cinque a cinque, o sei a sei, rimaneva sempre 1, ma contandole sette a sette non rimaneva più nulla. Chiediamo come possiamo congetturare il numero di uova.

lo stesso Bachet propone il problema anche senza alcuna “contestualizzazione”:

Chiedo un numero che diviso per 2 lascia 1, diviso per 3 lascia 1, e similmente diviso per 4, 5 o 6 rimane sempre 1, ma essendo diviso per 7 non rimane nulla.

E poi, ancora in un’altra variante che porta ad una soluzione più piccola:

Trova un numero che diviso per 2 lascia 1, diviso per 3 lascia 2, diviso per 4 lascia 3, diviso per 5 lascia 4, diviso per 6 lascia 5, ma diviso per 7 non lascia niente.

In questo caso la soluzione più piccola è 119. Infatti se x è il numero da trovare, allora x+1 deve essere divisibile per 2, 3, 4, 5 e 6 e quindi per 60, e deve altresì essere divisibile per 7: x=60m-1 = 7n. Cioè 60m-7n =1: la soluzione più piccola è 119.

In un’atmosfera di attività laboratoriale, uova e arance sono potenti stimolatori di appetito matematico.

In laboratorio, tra l’altro, sembrano risvegliarsi gusti e sapori quasi dimenticati, come la stima di una grandezza in una data unità di misura o la riduzione in scala da una misura all’altra.

Per quanto riguarda le arance, al mercato se ne possono trovare qualità fuori misura, ognuna del peso di circa 700g e del diametro di 12-13 cm ma molte arance di giardino hanno mediamente un diametro di 8 cm e un peso di 250g. Ciò ammettendo, la cesta del contadino di Trombetti-Zollo può contenerne 301?  Quali dimensioni dovrebbe avere la cesta? E quali quella della contadina di Bachet? Qual è la disposizione migliore (nel senso di far risparmiare spazio) o, come si dice, più densa possibile, per un certo numero di arance? oppure di uova?

È questo un problema molto serio d’interesse non solo teorico ma anche dell’industria e del commercio.

È detto degli imballaggi o impacchettamenti, ed è un problema di cui ebbe a occuparsi Keplero e in seguito, nel 1674, fu oggetto di una disputa tra Isaac Newton e James Gregory.

Qual è il numero di sfere, tutte dello stesso diametro, che nella disposizione più densa, possono essere disposte attorno ad una sfera centrale? Gregory disse 13, Newton 12.  Dopo centottant’anni venne dimostrato che aveva ragione Newton.

Un analogo problema riguarda le uova: la disposizione più densa è quella che utilizzano gli uccelli per covarle: tutte con la punta rivolta al centro come tante fette di torta. In questo modo – è il parere degli esperti – l’uccello può coprire più facilmente le sue uova, ma il calore che esse ricevono dal suo corpo si dissipa meno rapidamente.

Queste questioni sono ampiamente presenti in rete e nel bel capitolo “Le forme” del libro di Paul Hoffman, La Vendetta di Archimede – Gioie e insidie della Matematica (1990).

Un altro libro da citare è Il linguaggio della Matematica di Keith Devlin (2002) se non altro perché un paragrafo è dedicato a Come si impilano le arance e la conclusione è che la forma è ancora quella a piramide. Una composizione a strati, in cui ciascuna arancia è nell’incavo di quelle dello strato sottostante. È la disposizione che utilizzano i fruttivendoli: è stabile e fa risparmiare spazio massimizzando il numero di arance che si possono mettere in uno spazio determinato.

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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