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Storie da raccontare nelle nostre classi.

La matematica dei gentiluomini, altri modi di scrivere 2024, la doppia nascita della teoria dei numeri e la didattica dei problemi piacevoli e divertenti nelle nostre classi.

Nascita di Bacco da Semele (1530) – J.P.Getty Museum

Nel 1770 Giuseppe Lagrange dimostrò che ogni numero naturale si può esprimere come somma di 1,2,3 o 4 numeri quadrati.

Esempi: 7= 22+12+12+12 e 25, che è un quadrato, è 52; 42+32 ; 42+22+22+12; non si può invece scrivere come somma di tre quadrati.

Il teorema di Lagrange stabilisce una proprietà che è di tutti i numeri naturali.

Quindi anche di 2024. Infatti è: 2024 = 42+182+282+302 ed è anche 2024 = 102 + 302+322; 2024 = 22 + 162+ 422 cioè somma di tre quadrati in più modi diversi. Sono espressioni di 2024 che si aggiungono alle tante altre che hanno incuriosito e divertito nell’attesa di questo nuovo anno del post Christum natum. In particolare, somma di cubi di numeri consecutivi:

2024=23+33+43+53+63+73+83+93

E somma di interi i cui reciproci hanno somma 1, in accordo al teorema che stabilisce vera questa partizione per ogni numero maggiore di 77:

2024=2+8+24+32+48+88+176+224+240+264+358+560

1=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{32}+\frac{1}{48}+\frac{1}{88}+\frac{1}{176}+\frac{1}{224}+\frac{1}{240}+\frac{1}{264}+\frac{1}{358}+\frac{1}{560}

Va anche detto che non esistono due quadrati di cui 2024 sia la somma.

Le ragioni sono dovute al fatto che 2024 è il prodotto di 23·11·23 e sia 11 che 23 sono della forma 4·m+3. Queste ragioni le ha ben spiegate Antonino Giambò nel suo articolo Il teorema di Natale.

Il teorema di Lagrange ha dunque un carattere di generalità, vale per tutti i numeri naturali, come tanti altri, compreso il teorema che coinvolge il numero 77. È altresì un teorema che ha alle spalle una storia molto interessante.

Risale ad una congettura di Claude-Gaspar Bachet signore di Méziriac (1581 – 1638).

Un ricco gentiluomo che pur non essendo un matematico aveva sviluppato un interesse per divertimenti e rompicapi matematici tale da fargli acquisire una presenza nella storia della matematica che è tuttora viva e tangibile. Nel 1612, infatti, l’ha ricordato anche A. Giambò nell’articolo già citato, pubblicò i Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres che, fatto più unico che raro, stampati e ristampati nel corso di questi quattro secoli, riediti nel 1993 e nel 2022 in collane di grandi classici della matematica, suscitano tuttora attenzione e consenso anche nel mondo della didattica.

Lo prova l’inserto del bollettino del 2015 dell’APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public de la maternelle à l’université) che riporta una selezione di questioni e di problemi didatticamente interessanti per le nostre classi di studenti [VEDI]. Lo provano anche le numerose e diffuse citazioni. Tra queste anche quella di Alfio Ragusa nella sua conferenza al convegno “Ludendo discitur bis- mettiamo al bando le lezioni noiose” (Catania 2023).

Ma  Claude-Gaspar Bachet ha maturato anche altri meriti.

André Weil lo reputa un personaggio fondamentale nella nascita della moderna teoria dei numeri. Anzi, doppia nascita! Qui André Weil paragona la teoria dei numeri a Bacco, il dio che inebria, il dio che si dice nato due volte. Come Bacco, la moderna teoria dei numeri è nata due volte. La prima nascita Weil la individua tra il 1621 e il 1636. A dare il primo riferimento temporale è proprio  Bachet. È lui che traduce e dà alle stampe nel 1621 l’opera di Diofanto.

L’altro riferimento, però, lo dà, nella sua corrispondenza, Pierre de Fermat. Nel 1636 ha già studiato a fondo e annotato (le famose annotazioni sui margini troppo piccoli!) la sua copia di Diofanto, testo greco, traduzione in latino e commenti, curata dal Bachet. Fermat è “ubriaco” di numeri, meglio, di teoria dei numeri che diventa il suo principale interesse. Ad essa dedica i suoi sforzi per diffonderla e guadagnare sostenitori e compagni con i quali godere dell’ebbrezza intellettuale della teoria dei numeri. Sforzi non sempre coronati da successo: «Non mancano certo argomenti migliori per passare il tempo» dirà Huygens a Wallis. E Pascal non la pensa diversamente, ma Fermat, ammiratore delle sue capacità espositive, gli propone di scrivere insieme un trattato di teoria di numeri. Per nostra sfortuna, Pascal declinò l’invito.

André Weil (1906-1998)

Per la ri-nascita Weil non ha dubbi: è il 1729. Anzi, il 1° dicembre 1729.

Christian Goldbach chiede a Eulero, del quale è amico e mecenate, di esprimere il suo parere in merito alla proposizione di Fermat secondo la quale tutti gli interi del tipo 2^{2^{n}}+1 sono primi.  Scrive Weil: «Nella risposta Eulero espose alcuni dubbi, ma nulla di nuovo doveva capitare fino al 4 giugno, quando Eulero riferì di aver “appena letto Fermat” e di essere rimasto molto impressionato dalla sua affermazione che ogni intero è la somma di quattro quadrati (e anche di tre numeri triangolari , di cinque pentagonali, eccetera). Da quel giorno in poi Eulero non perse più di vista questo argomento e la teoria dei numeri in generale. Lo stesso fece in seguito Lagrange, e così Legendre, e poi Gauss, con il quale la teoria dei numeri raggiunse la piena maturità. Pur non diventando mai un argomento popolare, essa da allora continua a svilupparsi con successo.»

La storia così raccontata è un insieme di storie: di numeri, di gentiluomini, di passioni, di libri, d’insegnamenti. Si può raccontare in classe completando con qualcuno dei problemi piacevoli e divertenti che hanno fatto la fortuna del libro di Bachet.

Una donna che porta un cesto di uova da vendere al mercato viene urtata da un uomo. Il cesto cade a terra e tutte le uova si rompono. L’uomo vuole ripagare la donna del danno subito e chiede il numero delle uova che erano nel cesto. La donna risponde che non lo sa, ricorda però che contandole due a due ne rimaneva 1, e analogamente contandole tre a tre, o quattro a quattro, o cinque a cinque, o sei a sei, rimaneva sempre 1, ma contandole sette a sette non rimaneva più nulla. Chiediamo come possiamo congetturare il numero di uova.

Bachet propone il problema anche nella formulazione seguente, più rapida:

Chiedo un numero che diviso per 2 lascia 1, diviso per 3 lascia 1, e similmente diviso per 4, 5 o 6 rimane sempre 1, ma essendo diviso per 7 non rimane nulla.

La soluzione.

Sia n il numero cercato; n – 1 deve essere un multiplo di 2, 3, 4, 5, 6, quindi 60. Il numero n è dunque 61 o anche 121, 181, 241, 301… dipende da quale di quesi multipli più 1 è divisibile per 7. Ne segue che è n= 301è la più piccola soluzione per il numero di uova che la donna portava nel cesto.

Altre osservazioni sulla soluzione e altri esempi di  questioni si trovano nell’articolo citato  dell’APMEP. L’esempio richiama il problema del contadino del film di Massimo Troisi

 

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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