I grandi manuali di Algebra

I grandi manuali di Algebra dall’invenzione della stampa meccanica all’Algebra di Eulero e oltre. Il caso della Géométrie di Cartesio.

Johann Gutenberg (1400?-1468)

Il Triparty en la science des nombres è la più antica algebra rinascimentale che si conosca. L’opera è del francese Nicolas Chuquet della cui vita si sa poco o niente. Ad esempio, che era nato a Parigi e che aveva studiato le opere di Severino Boezio e il Liber Abaci di Fibonacci, fatti che traspaiono proprio dal Triparty. Il testo è del 1484 ed è in forma manoscritta. Fu pubblicato a stampa solo nel 1849.

Il più famoso trattato di Algebra di quel periodo uscito da una delle stamperie sorte dopo la scoperta di Gutenberg dei caratteri mobili, è però di dieci anni più tardi. Fu pubblicato a Venezia nel 1494, scritto dal monaco francescano di Borgo San Sepolcro Luca Pacioli.

È questa l’opera presa come punto di partenza della nostra rassegna storica dei principali trattati di Algebra pubblicati a partire dalle origini della stampa meccanica fino ad Eulero, Lacroix, Ruffini e oltre.

Eccone una lista:

1. Luca Pacioli, Summa de arithmetica geometria proportioni et proporzionalità pubblicata a Venezia nel 1494. È l’enciclopedia della matematica pura ed applicata che allora si insegnava in Italia. Una descrizione accurata dello stato dell’arte matematica, anche rispetto alla risoluzione delle equazioni algebriche, [VEDI]
2. Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544. L’opera precede di un anno quella di Cardano. È la prima opera a contenere il cosiddetto triangolo aritmetico noto come triangolo di Pascal o di Tartaglia e che per tale ragione in Germania lo si dice anche di Stifel.  Scrive Carl Boyer che la prima metà del XVI secolo vide un accavallarsi di algebre tedesche tra le quali di una certa importanza quella di Christoph Rudolff dal titolo Coss che è del 1525 che fu molto conosciuta in Europa e dalla quale deriva il nome di arte o regola cossica dato all’algebra.
3. Gerolamo Cardano, Ars Magna sive de regulis algebraicis del 1545. L’opera è il  capolavoro matematico di Cardano dove, ovviamente, la «grande arte» è l’algebra e dove Cardano pubblica la risoluzione delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado. [VEDI]
4. Niccolò Tartaglia, General trattato di numeri et misure. Il trattato è diviso in sei parti di cui le prime due furono pubblicate nel 1556 e le altre nel 1560 dopo la morte dell’autore. [VEDI]
5. Rafael Bombelli, Algebra. Il trattato fu stampato a Venezia nel 1572 e poi ristampato a Bologna nel 1579. Leibniz, circa un secolo più tardi, lo citerà come esempio di opera magistrale ma Giulio Vivanti^* lo definirà “Un libro pregevole per il suo contenuto, ma di una prolissità, anche per i suoi tempi, eccezionali; eppure l’autore si dice “studiosissimo della brevità e teme di essere stato troppo conciso a scapito della chiarezza”.
6. Di poco posteriore al Bombelli è quella di Simon Stevin: L’Arithmetique contenant les computations des nombres arithematiques ou vulgaires: aussi l’Algebre avec les equations des cinq quantites. L’opera è del 1585.
7. Uno tra i più grandi nomi della storia dell’algebra è François Viète [VEDI]. Non c’è un vero trattato ma opuscoli i primi pubblicati nel 1591 poi tutti insieme in un volume del 1646: In artem analitycam isagoge, Ad Logisticen speciosam notae priores, Zeteticorum libri quinque, De aequationum recognitione et emendatione, De numerosa potestatum purarum atque adfectarum ad exegesin resolutione tractatus. Viète è il padre dell’Arithmetica speciosa, o calcolo letterale. Egli denota i dati con lettere anziché con numeri e così facendo libera l’Algebra dalla schiavitù delle parole inaugurando una nuova dimensione.
8. Cartesio, Géométrie, 1637.
9. Il 1685 è l’anno di un’opera di “notevole pregio anche per il contenuto di numerose notizie storiche, sebbene talvolta inquinate di parzialità nazionalistica. L’opera è Treatise of Algebra both hostorical and practical with some additional treatises di John Wallis. Del quale si è detto a proposito per la sua controversia con Hobbes.
10. Del 1690 è il Traitè d’Algebre ou principes generaux pour resoudre les qustions de Mathematique di Michel Rolle. Il matematico del teorema che è tra i più noti ai giovani che conseguono la maturità scientifica e che in quest’opera formula, pare per la prima volta, il teorema che esistono n valori per la radice n-esima di un numero cosa che dimostra però solo per n=3.
11. Un vero trattato di algebra è, magrado il titolo, Arithmetica universalis sive de compositione et resolutione aithmetica liber, opera del grande Isacco Newton. Il libro, pubblicato una prima volta nel 1707, quale resoconto degli appunti delle lezioni tenute a Cambridge, fu poi revisionato e pubblicato nuovamente nel 1722. Il tema dell’algebra applicata alla geometria tuttora di grande interesse didattico vi è trattato con particolare chiarezza. Mettere in equazione un problema equivale a tradurre nella lingua dell’algebra. Trattati europei mondiali.
12. Una menzione in questa lista merita Elements of Algebra di Nicholas Saunderson (1682–1739) un autore matematico cieco dall’età di un anno. I suoi Elements furono pubblicati postumi, nel 1740, e furono tradotti in francese nel 1756 e in tedesco nel 1798. Nei primi decenni del XIX secolo erano ancora utilizzati.
13. Del 1745 è il Treatise of Algebra di Thomas Simpson. Un libro di grande successo che vantò ( la notizia si trova in Carl Boyer, Storia della Matematica, Isedi, 1976 ) almeno otto edizioni uscite a Londra tra il 1745 e il 1809, una durata oggi impensabile che significa che più generazioni imparavano dagli stessi testi e che ciò conferiva all’educazione caratteri di grande omogeneità. I buoni trattati infatti erano tradotti e utilizzati in tutta Europa e, successivamente nel nuovo Mondo.
14. L’anno successivo, il 1746, in Francia compare Elemens d’Algebre di Alexis Claude Clairaut . Innovativo sotto molti punti di vista e ispirato ai metodi euristici.”Proposito dell’autore è, non già di insegnare l’algebra a chi legge, ma di farla a lui inventare. Nel 1801 il manuale era alla sua sesta edizione.
15. Nel 1748, stampate a Milano, compaiono i due tomi delle Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana di Maria Gaetana Agnesi testo poi tradotto in francese ed in inglese. In una nota [VEDI] si è dato spazio alla regola dei segni in algebra così come giustificata dall’Agnesi.
16. Dello stesso anno delle Instituzioni dell’Agnesi è il Treatise of Algebra di Colin MacLaurin che ebbe un notevole successo e risultava ancora edito nei primi dell’Ottocento.
17. Eulero, Algebra. È il manuale con il quale si chiude questa breve rassegna. Fu pubblicato in russo a Pietroburgo nel 1668, poi in tedesco nel 1770. Nel 1774 ne uscì l’edizione francese sotto gli auspici di D’Alembert, tradotta da Johann Bernoulli III (1744-1807) con le annotazioni, nel secondo volume, di Lagrange. Fu tradotta in latino (Venezia 1790), in inglese (Londra 1797), in greco (1800), in portoghese (Rio de Janeiro 1808) risultando uno dei primi libri stampati in Brasile. Nella prefazione all’edizione francese citata si legge: «Mettiamo nelle mani degli amatori dell’Algebra un’opera di cui due anni fa è già apparsa una traduzione russa. L’idea del famoso autore era quella di comporre un libro elementare grazie al quale si potesse imparare a fondo l’algebra senza altri aiuti».

Per testare la sua idea e dar prova della sua efficacia didattica, Eulero, ormai completamente cieco, si valse dell’aiuto di un giovane che l’aveva seguito come domestico da Berlino, sarto di professione e di media intelligenza, che era pratico di Aritmetica, ma completamente ignaro di Algebra. Il domestico non solo giunse a comprendere tutto quanto insegnava il suo illustre precettore, ma anche ad eseguire con rapidità difficili calcoli algebrici e a risolvere prontamente tutti i quesiti proposti.

L’algebra di Eulero influenzò molto sia la stesura di altri manuali che la didattica.

Se è con essa che chiudiamo questa nostra rassegna è soprattutto perché dopo di allora sarebbe molto più difficile portare il conto dei manuali pubblicati. Lo evidenzia molto bene Carl Boyer la cui storia è forse l’unica a cogliere e descrivere con particolare attenzione gli aspetti dell’insegnamento e dell’organizzazione scolastica del periodo. Sottolinea infatti che in questi decenni a cavallo tra il XVIII e il XIX secolo si verifica  una vera e propria esplosione di manuali. Si potrebbero citare ancora Bézout, Lacroix, Ruffini e numerosi altri autori.

Ovviamente sono opere scritte con un taglio nettamente diverso.

Sono molto meno trattati e molto di più manuali nel senso di libri di testo. Il loro contenuto non riguarda argomenti di ricerca e problemi aperti quanto ciò che è provato ed è certo. I manuali hanno una finalità didattica, mirano alla formazione della gioventù^**. Molto influì il nuovo sistema scolastico inaugurato in Francia con la Rivoluzione. Forte fu l’influenza della École polytechnique e dell’École normale supérieure e soprattutto delle scuole militari. Nel 1802 fu istituita l’Accademia di West Point  ove venne adottato il corso di Étienne Bézout di cui l’Algebra è uno dei sei volumi.

Ed è dalle lezioni tenute alla École polytechnique da Cauchy che nasce nel 1821 il Cours d’analyse de l’École royale polytechnique che dà all’insegnamento dell’algebra  e dell’analisi matematica l’assetto che in sostanza dura tutt’oggi. La parte prima del corso è proprio l’Analyse Algebrique cioè l’Algebra è la via che porta all’Analisi. Su questo aspetto si rinvia ad una successiva nota per evidenziare contenuti, sviluppi e nuovi indirizzi assunti dall’Algebra.

Infine, una osservazione è doverosa in merito alla presenza nella lista della Géométrie di Cartesio.

È stata inserita senza un commento perchè non è un trattato di Algebra ma una delle Appendici al Discours de la méthode. Eppure i suoi cointenuti sono fondamentali per lo sviluppo dell’algebra: non solo i metodi per la risoluzione delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo ma anche problemi di algebra applicata alla geometria, la costruzione geometrica delle radici di un’equazione di secondo grado e la nota regola delle variazioni e delle permanenze. Una regola, non dimostrata da Cartesio, che i trattati successivi ugualmente includono senza dimostrazione, compreso quello di Newton.

NOTE

^*Giulio Vivanti è stato un autorevole matematico italiano del primo Novecento noto per aver curato insieme a Luigi Berzolari e a Duilio Gigli la realizzazione della Enciclopedia delle Matematiche elementari e complementi. Vivanti per incarico di Federigo Enriques,  che aveva assunto la direzione del Periodico di Matematiche nel 1921 effettuò una ricognizione dei principali trattati di Algebra pubblicati a partire dalle origini della stampa meccanica al 1800. Dell’articolo di Vivanti pubblicato sul n. 3 del 1924 si è tenuto conto nella redazione della presente nota. 

^**L’Agnesi nella prolusione “Al Lettore” dà ragione dei motivi che l’hanno indotta a scrivere le Instituzioni. Eccole: «Non avvi alcuno, il quale informato essendo delle Matematiche cose, non sappia altresì quanto, in oggi sezialmente, sia necessario lo studio dell’Analisi, e quali progressi si sieno con questa fatti, si facciano tuttora, e possano sperarsi nell’avvenire; che però non voglio, nè bebbo trattenermi qui in lodando quella scienza, che punto non ne abbisogna, e molto meno da me. Ma quanto è chiara la necessità di lei, onde la Gioventù ardentemente s’invogli di farne acquisto, grandi altrettanto sono le difficoltà, che vi s’incontrano, essendo noto, e fuor di dubbio, che non ogni Città, almeno nella nostra Italia, ha persone, che sappiano, o vogliano insegnarla, e non tutti hanno il modo di andar fuori della Patria a cercarne i Maestri.»