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La regola dei segni in algebra

Gli insegnanti giustificano la regola dei segni? Se sì, sulla base di che cosa? Il prima e il dopo nell’insegnamento e il dibattito sulle LCD.

Perché  (-1)(-1)=1?

Semplicemente perché la regola è questa! È una regola che è legata ad altre regole. Più esattamente, consegue dal desiderio di mantenere la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: a(b+c) = ab+ac.

Si sarebbe potuto stabilire che (-1)(-1)= – 1 , ma,  ponendo a =-1, b=1, c=-1 avremmo avuto:

-1(1-1) = -1 – 1=-2,  e  -1(1-1) = -1 · 0=0.

Quindi deve essere necessariamente (-1)(-1)=1

In effetti ci volle molto tempo perché i matematici si accorgessero che la «regola dei segni» e le altre definizioni che regolano il sistema dei numeri razionali non possono essere «dimostrate». Sono delle convenzioni. Esse sono state create per mantenere le proprietà fondamentali dell’aritmetica. Ciò che può – e deve – essere dimostrato è soltanto che, sulla base di queste definizioni, si mantengono le proprietà commutativa, associativa e distributiva dell’aritmetica dei naturali.

Allora, in modo più formale, la regola dei segni:

(-a)b = a(-b)=-ab,  (-a)(-b)=ab

con a e b numeri razionali, possiamo giustificarla sapendo che valgono le proprietà citate e che a·0 = 0 e b+(-b)=0. Allora, moltiplicando ambo i membri di quest’ultima uguaglianza, per a, si ha:

a (b+(-b)) = a·0

Cioè, applicando la proprietà distributiva:

ab+a(-b)) = 0

Sommando, a destra e a sinistra, -(ab), otteniamo: a(-b)=-(ab).

In modo analogo si può vedere che (-a)b=-ab.

Adesso moltiplichiamo b+(-b)=0 per -a; otteniamo:

(-a) ((b+(-b)) = (-a)·0

(-a) b+(-a)(-b) = 0  quindi -(ab) + (-a)(-b) = 0. Se aggiungiamo ab ad entrami i membri otteniamo:

(-a)(-b) = ab

La «regola dei segni» ha un’interessante storia didattica alle spalle.

Di particolare rilievo è la giustificazione che ne diede Maria Gaetana Agnesi nelle sue Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana del 1748.

La scelta didattica dell’Agnesi, molto comune a quei tempi, fu di fondare la regola dei segni sul concetto di proporzione. Anzi, è la stessa operazione di moltiplicazione ad essere secondaria rispetto alle proporzioni: la moltiplicazione altro non è che una proporzione, scrive M.G. Agnesi nelle prime pagine del Capo I del Tomo I della sua opera, illustrando le “primarie notizie, ed Operazioni dell’Analisi delle Quantità finite”. Ecco il passo interessato:

La ragione di ciò è, che la moltiplicazione [di due quantità] altro non è che, che una proporzione geometrica, il di cui primo termine sia l’unità; il secondo e terzo termine le due quantità, che devonsi moltiplicare; ed il quarto il prodotto, e per tanto posti in serie l’unità per primo termine, l’uno dei moltiplicatori per secondo, l’altro moltiplicatore per terzo; poiché il quarto, per la natura della proporzione geometrica, deve essere multiplo del terzo come il secondo è multiplo del primo; se il secondo e terzo termine sono positivi, cioè se, per esempio, è 1:a=b: al quarto, essendo l’unità, cioè il primo positivo, dovrà pure essere positivo il quarto. Sia negativo il secondo, e positivo il terzo, cioè sia 1:(-a)=b: al quarto; dovendo  il quarto essere multiplo del terzo, come il secondo è multiplo del primo, ed essendo negativo il secondo, dovrà pure il quarto essere negativo. Sia positivo il secondo. negativo il terzo, cioè sia 1:a=-b: al quarto; dovendo il quarto essere multiplo del terzo, come il secondo è multiplo del primo, ed essendo il secondo, ed il primo positivi, ed il terzo negativo, non potrà il quarto essere se non negativo. sieno finalmente il secondo. ed il terzo negativi. cioè sia 1:-a=-b: al quarto; essendo il secondo multiplo negativo del primo, bisognerà che il quarto sia multiplo negativo del terzo; ma il terzo è negativo, dunque dovrà il quarto essere positivo. Adunque il prodotto di a in b sarà ab; quello di a in -b sarà -ab; di -a in b sarà pure -ab; di -a in -b sarà ab.

La scelta dell’Agnesi di ricorrere alle proporzioni non deve affatto meravigliare.

Una storia ricca di più di due millenni faceva di questo elegante strumento della matematica greca un concetto tra i più familiari e naturali possibili. Uno strumento utilizzato nella soluzione di ogni sorta di problemi che tutti imparavano a manovrare abbastanza presto occupando un posto di riguardo nell’insegnamento elementare e secondario. E così è stato fino a pochi decenni fa. Furono i programmi ministeriali per la scuola media del 1963, e poi del 1979, a limitare quel peso che avevano e che oggi non hanno più. Uno strumento così familiare dunque che Maria Gaetana Agnesi se ne serve per spiegare che meno per più e più per meno danno meno mentre meno per meno fa più.

C’è però un altro motivo alla base della scelta dell’Agnesi.

Le sue Instituzioni hanno una finalità didattica; le scrive per la gioventù italiana perché essa «ardentemente s’invogli di farne acquisto»[i]. Per assolvere al meglio a questa finalità l’Agnesi ha bisogno di poter essere in grado di spiegare e giustificare con chiarezza quanto, passo dopo passo, si propone di trattare. Per far ciò, una cura particolare deve prestare a stabilire l’ordine della trattazione, scegliendo ciò che viene prima e ciò che può essere posto dopo, in modo che essa si sviluppi per gradi, dal più semplice al più complesso, senza salti, con la piena giustificazione di  quanto progressivamente trattato. Ha bisogno cioè di rispettare quei canoni della pedagogia che faranno del Settecento, il gran secolo della didattica e dei manuali per l’istruzione.

Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert (1717-1783)

D’altronde è questo il secolo  dell’Encyclopedie che alla voce Education chiarirà al mondo che: «il gran segreto della didattica, ossia dell’arte di insegnare, è di essere nelle condizioni di chiarire la subordinazione delle conoscenze». Il secolo di un sapere onnicomprensivo, dominabile e gerarchizzabile, in cui è possibile stabilire una relazione di buon ordinamento utile alla comunicazione e all’insegnamento. Nella stessa Encyclopédie, Jean Le Rond d’Alembert spiega come deve essere fatto un manuale di matematica [VEDI]. Ha scritto Carl B. Boyer[ii]: «Il XVIII secolo fu, per eccellenza, il secolo dei manuali di matematica: mai prima di allora erano usciti così tanti libri in edizioni così numerose».

Si tratta di manuali diffusissimi utilizzati per decenni e decenni. Per fare qualche esempio: le Instituzioni dell’Agnesi furono tradotte anche in francese e in inglese(1804). L’Algebra di Eulero fu pubblicata in tedesco, russo, francese, inglese con edizioni anche in America. Gli  Elements of Euclid di Robert Simson, una ri-organizzazione didattica della geometria euclidea, apparvero nel 1756 e nel 1834 avevano raggiunto la ventiquattresima edizione inglese per non parlare delle edizioni in altre lingue e dei numerosi altri manuali che ne seguivano lo sviluppo della trattazione.

Questi manuali costituiranno il modello consolidato di insegnare la matematica. Le sistemazioni della disciplina che presentavano, la loro organizzazione e la successione dei capitoli diventeranno  con il tempo canonici, standard. L’apice di questo processo sarà raggiunto con il Cours d’Analyse di Cauchy del 1821. Si può dire che segnerà la “via regia” dell’insegnamento dell’Analisi che dura ancora ai giorni nostri. Tutto ciò ha costituito un terreno fertile su cui concentrare le riflessioni pedagogiche e psicopedagogiche. Le prime hanno sostanzialmente lavorato per perturbare l’ordine canonico instauratosi e radicatosi nella didattica della matematica, le seconde  (in particolare Bruner, Piaget) hanno cercato di indagare sui concetti che si presentano per primi nello sviluppo del bambino. L’espressione “la mappa delle concetti primari” è nata appunto nell’ambito degli studi dell’epistemologia genetica. E di questo si parlerà in un successivo intervento.

 

NOTE

[i] Comincia così l’opera: Non avvi alcuno, il quale informato essendo delle Matematiche cose, non sappia altresì quanto, in oggi spezialmente, sia necessario lo studio dell’Analisi…….Ma quanto è chiara la necessità di lei, onde la gioventù ardentemente s’invogli di farne acquisto, grandi altrettanto sono le difficoltà, che vi s’incontrano, sendo noto, e fuor di dubbio, che non ogni Città, almeno nella nostra Italia, ha persone, che sappiano o vogliano insegnarla, e non tutti hanno il modo di andar fuori della Patria a cercarne i Maestri… ……..Le sue Istituzioni le scrive quindi per la gioventù italiana e le scrive in Italiano; non dà  ascolto a chi ne consiglia la traduzione in Latino – idioma che da alcuni credasi più convenire a tal materia – ma segue l’autorevole esempio di tanti celebri Matematici Oltramontani, e d’Italiani ancora, le di cui opere nella loro natìa favella vanno a comune vantaggio stampate.

[ii] Storia della Matematica, ISEDI, 1976

 

 

 

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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