Le LCD e il prima e il dopo. Limitate catene deduttive nelle prove assegnate alla maturità scientifica.
Nelle prove d’esame è abbastanza frequente, in particolar modo nei testi del questionario, la richiesta di dimostrazioni relative alle proprietà di una figura o alla verità di una proposizione.
Peraltro, anche nel corso del processo risolutivo di un qualsiasi problema, lo studente è implicitamente chiamato a “Spiegare/Illustrare/Definire, Dimostrare/Dedurre”, come recita il Syllabus 2009 (una proposta sempre valida per le caratteristiche di una traccia d’esame).
Lo studente deve, pertanto, costruire le sue “Limitate catene deduttive”, in modo consapevole e critico, oltre che coerente col suo bagaglio culturale.
Nelle catene, necessariamente «limitate», devono essere ben motivati i punti di partenza (informazioni fornite dal testo, formule o teoremi noti) e il susseguirsi degli “anelli” deve essere adeguatamente giustificato.
Riscuotono sempre un certo interesse, e sono particolarmente apprezzate, le richieste alle quali possono corrispondere più tipologie di risposte e diversi procedimenti risolutivi.
In sede d’esame, la versatilità e la flessibilità nelle possibili scelte rispettano le diversità dei percorsi didattici e gli interessi specifici degli studenti. In seguito, queste tracce rimangono negli archivi di prove, come utili esempi ricchi di spunti didattici, sia sul piano dei contenuti, sia sul piano del confronto dei vari processi risolutivi.
Questa prima selezione di tracce si riferisce a tre quesiti in ambito geometrico:
- il quesito 4 della prova suppletiva PNI del2007
- il quesito 9- ordinaria 2012 ( ordinamento e PNI)
- Il quesito 3- straordinaria 2023
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Il quesito 4 – suppletiva PNI. 2007
Si consideri la seguente proposizione:
“In ogni triangolo isoscele la somma delle distanze di un punto della base dai due lati uguali è costante”
Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
Il quesito è molto semplice. La maggioranza degli studenti dovrebbe essersi orientata verso una soluzione in ambito trigonometrico, ma per rispondere in modo esaustivo è sufficiente avere dimestichezza con i triangoli simili oppure con l’equivalenza delle figure piane. É possibile ricorrere anche a metodi sintetici, attraverso costruzioni non complicate che richiedono, però, un certo intuito.
La catena più corta è quella relativa al primo metodo. Il punto di partenza, la relazione tra cateto, ipotenusa e seno dell’angolo opposto, fornisce indubbiamente una formula semplice e veloce. Rischia, però, di nascondere la vera natura del problema e di mettere in ombra alcune proprietà della figura. Soffermandosi su di essa si trova, ad esempio, un possibile collegamento con il teorema di Viviani, interessante ai fini di un successivo lavoro in classe.
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ll quesito 9- ordinaria 2012 ( ordinamento e PNI)
Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.
Si risolva il problema nel modo che si preferisce.
Un quesito analogo è stato assegnato nella sessione ordinaria del 2006:
Quesito 3. In un piano sono dati una retta e due punti e ad essa esterni ma situati nel medesimo semipiano di origine . Si trovi il più breve cammino che congiunga con toccando
Il riferimento al problema di Erone, nella formulazione del 2012, suggerisce il legame con le leggi della riflessione della luce e, implicitamente, indirizza lo studente verso una soluzione di tipo geometrico, più veloce ed elegante rispetto a quella analitica.
Entrambi i metodi partono dall’assunto che i cammini che minimizzano le distanze sono segmenti e che il cammino minimo che congiunge A con B, toccando r in un punto C, non può che essere una spezzata composta da due segmenti.
Il ricorso al concetto di simmetria semplifica la catena deduttiva del metodo geometrico.
La soluzione analitica affronta il problema come un ordinario problema di ottimizzazione, con il metodo delle derivate. L’interpretazione geometrica del risultato ottenuto permette un interessante riscontro tra i due svolgimenti.
La discussione in classe può essere ampliata in campo storico o epistemologico
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Il quesito 3- straordinaria 2023
Possibili schemi di catena deduttiva:
- Nell’equazione cartesiana del generico piano si impongono le opportune condizioni per determinare i valori dei coefficienti.
- Si scrivono le equazioni parametriche del piano, considerando i suoi i punti come l’insieme delle combinazioni lineari di due vettori indipendenti, applicati ad uno stesso punto
- Si scrive l’equazione di un fascio di piani passanti per la retta assegnata e si impone un’ulteriore condizione per determinare il parametro.
I possibili approcci risolutivi possono essere ricondotti ai primi postulati o teoremi che definiscono le posizioni reciproche di punti, rette e piani nello spazio ma possono anche coinvolgere concetti più complessi legati alla teoria dei vettori.
Il metodo dei fasci si rivela, anche in questo campo, uno strumento comodo e potente.
Ecco le proposte risolutive dei tre quesiti
Quesito 4 – suppletiva PNI – 2007
Quesito 9 – ordinaria 2012 – ( ordinamento e PNI)
Quesito 3 – straordinaria 2023
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