Dalla manualistica internazionale ai software didattici, una scelta grafica diffusa rischia di cancellare l’idea fondamentale di orientazione.
Negli ultimi anni si è diffusa nella didattica della matematica – dalla scuola secondaria di primo grado fino ai licei – una rappresentazione degli assi cartesiani con frecce in entrambe le estremità. Una scelta grafica ormai così abituale da passare spesso inosservata, ma che merita invece una riflessione profonda sulla coerenza tra segno e concetto.
Una tendenza internazionale
Chi sfoglia manuali di larga diffusione internazionale riconosce immediatamente questa convenzione. È lo standard del celebre manuale Calculus di James Stewart, pilastro della didattica nordamericana, ma è una scelta che ritroviamo con forza anche nella manualistica sudamericana, come nei testi del brasiliano Gelson Iezzi o nelle pubblicazioni tecniche dell’INET( Instituto Nacional de Educación Tecnológica) in Argentina.
In questi contesti, l’asse viene trattato graficamente come una retta illimitata tout-court. Per imitazione e per la progressiva adozione di testi tradotti o adattati, questa impostazione sta entrando prepotentemente anche nella manualistica italiana. Eppure, proprio questa apparente innocuità grafica solleva questioni concettuali non banali.
Una scorciatoia visiva
La prima spiegazione di questa scelta è semplice: la doppia freccia vuole suggerire, in modo immediato, che l’asse “continua all’infinito” in entrambe le direzioni. È, in sostanza, un espediente iconico: una sorta di linguaggio visivo che sostituisce la spiegazione formale con un segno rapido e intuitivo. Da questo punto di vista, la scelta appare comprensibile: rende il disegno più “parlante”, soprattutto per gli studenti alle prime armi che faticano a visualizzare l’illimitatezza degli enti geometrici.
Il problema: retta o asse orientato?
Ma qui emerge il nodo centrale. Una retta geometrica è effettivamente infinita in entrambe le direzioni, ma un asse cartesiano non è una semplice retta: è una retta orientata.
Questo significa che:
- Esiste un verso positivo (indicato convenzionalmente dalla freccia);
- L’origine divide l’asse in una parte positiva e una negativa;
- L’orientazione è l’elemento essenziale per dare significato alle coordinate e all’ordinamento dei numeri reali.
La doppia freccia comunica implicitamente che il verso non sia rilevante. Ma l’orientazione non è un dettaglio: è una struttura portante dell’intero edificio dell’analisi e della geometria analitica.
L’equivoco del software
Un ruolo decisivo in questa deriva è giocato dai software di geometria dinamica. In GeoGebra, ad esempio, nella sua configurazione predefinita, le frecce possono apparire o scomparire in base allo zoom o alla navigazione nella finestra grafica.
Questo crea un’ambiguità pericolosa: lo studente smette di percepire la freccia come un simbolo logico di orientamento e comincia a interpretarla come un segnale di proseguimento del disegno oltre il bordo dello schermo. Si perde così la distinzione tra l’estremità fisica della finestra di lavoro e l’estremità logica dell’asse matematico.
Una convenzione che si auto-contraddice
C’è poi un aspetto semiotico ancora più curioso. La freccia, per sua natura, indica una direzione. Metterne due opposte significa, di fatto, annullare il significato stesso del simbolo. È come se il segno dicesse contemporaneamente “vai di qua” e “vai di là”, comunicando in definitiva che non importa dove tu vada.
Si potrebbe essere tentati di leggere la doppia freccia come un segno di “reversibilità”, ma è un equivoco: la reversibilità matematica è una proprietà profonda (si pensi alle funzioni invertibili), mentre la doppia freccia non chiarisce la struttura, la offusca. Non mostra la simmetria, bensì cancella l’orientazione.
Una proposta didattica
Senza bisogno di cadere in eccessive rigidità formali, si possono adottare soluzioni grafiche più coerenti con il pensiero matematico:
- Una sola freccia per asse, posta esclusivamente all’estremità positiva, per ribadire il verso di crescita dei valori.
- Nessuna freccia, se il contesto richiede la massima pulizia grafica, purché l’orientazione sia chiaramente stabilita dall’ordine dei numeri indicati sulle tacche di graduazione.
In entrambi i casi, si restituisce all’asse la sua natura di oggetto orientato, evitando di trasformare uno strumento logico in un semplice disegno decorativo.
Conclusione
Si può condividere, a questo punto, il giudizio netto di Luigi Verolino: la rappresentazione con doppia freccia è una “abitudine pessima”.
Nasce come scorciatoia visiva, ma introduce un’ambiguità significativa: trasforma un oggetto orientato in uno non orientato, proprio nel punto in cui l’orientazione è essenziale.
È uno di quei dettagli apparentemente minori che, proprio perché passano inosservati, incidono sulla formazione del pensiero. Perché, in matematica, anche i segni più semplici insegnano – oppure diseducano – al rigore.
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