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Matematica: prova d’esame

Quando degli esami di Stato anche i professori universitari discutevano con attenzione, rispetto e grande competenza. Una delle prove d’esame antecedente la riforma Gentile e la sua soluzione.  

Nella relazione tenuta dal prof. Carmelo Mammana all’ottavo convegno dell’UMI ( Rimini-1982)  “Il tema di matematica della prova  di maturità nella tradizione italiana” è citato il seguente problema:

Quanta parte della superficie terrestre (supposta sferica) sarebbe veduta da chi potesse elevarsi, sopra di essa, a un’altezza uguale al raggio? E a quale altezza dovrebbe elevarsi un osservatore per vedere la sesta parte della superficie terrestre?  In entrambi i casi trovare il volume del segmento veduto.

Si tratta di un testo che ha un suo valore storico: è uno dei problemi assegnati all’esame di “licenza”,  quando esisteva ancora la sezione fisico matematica, più di cent’anni fa, ed è un esercizio che ha un suo legame “con la realtà”.

In seguito le prove di matematica furono caratterizzate da una formulazione rigorosamente astratta, parzialmente e occasionalmente abbandonata  solo nella seconda metà del secolo scorso, anche grazie all’avvio di molte sperimentazioni e l’interesse per un insegnamento “per problemi”.

Il prof. Mammana, nel suo breve excursus storico sugli ordinamenti scolastici italiani e sulle prove di matematica degli esami finali, esprime un giudizio altamente positivo sulle tracce assegnate  durante il  primo periodo che va dalla legge Casati alla Riforma Gentile. Le prove finali si distinguevano sia  per la varietà e la molteplicità degli argomenti trattati, sia per le formulazioni  che spesso, pur nella loro semplicità richiedevano, da parte degli allievi <<intuizione, capacità deduttive, inventiva, precisione>>.

Nello stesso notiziario dell’UMI dedicato al convegno  di Rimini  del 1982, è interessante leggere alcuni commenti relativi alla struttura e ai contenuti della prova scritta della maturità scientifica.

Alcuni temi sono tuttora oggetto di dibattito: prova mono o pluridisciplinare,  contenuti relativi all’ultimo anno di corso o all’intero quinquennio, testo unico o possibilità di scelta da parte del candidato ecc. ecc.

In particolare, Vinicio Villani, all’epoca Presidente dell’UMI, si sofferma sull’importanza di rispettare i percorsi didattici dei docenti senza però cadere nella “prevedibilità” della prova, riproponendo contenuti standardizzati.

Auspicava, pertanto, una varietà di temi evitandone, comunque, l’eccessiva complessità e soprattutto scegliendo una formulazione non prescrittiva che lasci allo studente la scelta dell’impostazione e dell’approccio risolutivo.

Rileggendo il quesito in oggetto  con la sensibilità dei nostri giorni, possiamo apprezzarne il contenuto geometrico e l’approccio concreto che richiede attenzione nella matematizzazione. Interessante è, altresì,  la possibilità di scelta tra soluzioni di tipo sintetico oppure analitico.

Opportunamente rivisto per quanto riguarda il linguaggio e l’alone fantascientifico attribuito all’ipotesi di un osservatore che possa allontanarsi dalla terra a una distanza pari al raggio terrestre, potrebbe  essere tranquillamente assegnato ai nostri studenti.

Non passerebbe, inoltre, inosservata la presenza  di un segmento sferico, figura geometrica in verità un po’ trascurata dagli estensori delle prove d’esame degli ultimi decenni.

Qualche riferimento al volume del segmento sferico compare in un esempio ministeriale del 2001 e poi nelle tracce del 2003 (sessione suppletiva) e del 2004.

Per la superficie della calotta si deve andare un po’ indietro  negli anni

«Sono assegnate due circonferenze C e Cesterne tra loro e rispettivamente di centri O ed Oe raggi r e r/2 . Sul segmento OO’=a si prenda un generico punto P non interno alle due circonferenze e si conducano da esso le rette tangenti a C e C. Gli archi aventi per estremi i punti di contatto ed intersecanti il segmento  generano, in una rotazione di  180° attorno ad OO’, due calotte sferiche.
Posto OP=x, si determini la posizione di P in corrispondenza della quale risulta massima la somma delle aree delle due calotte.» ( sessione ordinaria 1974)

Il quesito 3 del 2015 per le scuole italiane all’estero -Europa- richiama le procedure utilizzate per determinare altezza e raggio di base di una calotta, nonché l’aspetto realistico del quesito in questione, senza fare però un preciso riferimento al segmento sferico.

«In un riferimento cartesiano Oxyz , si verifichi che   la circonferenza γ, intersezione della sfera di equazione x2+y2+z2=4 e del piano  z=1 ha centro in (0;0;1) e raggio=√3.

 Si immagini che una sorgente di luce puntiforme S sia situata sul semiasse positivo delle Z . A quale distanza dal centro della sfera si deve trovare S affinché γ sia il confine tra la zona della sfera che risulta illuminata e quella che resta in ombra?»

Indubbiamente gli studenti hanno maggiore dimestichezza con il calcolo del volume di un solido di rotazione, come applicazione del calcolo integrale o utilizzando il principio di Cavalieri, mentre per  le aree sono abituati a utilizzare gli aspetti geometrici delle figure o, il più delle volte, applicano formule memorizzate.

In alcuni casi, il vuoto di memoria può essere l’ostacolo principale per la risoluzione del quesito, specialmente se la ricostruzione della formula non è  immediata, nè agevole.

In particolare, per l’area della calotta sferica, un approccio intuitivo può  aiutare lo studente nella comprensione e nella memorizzazione della formula.

L’espressione 2πRh, dove R è il raggio della sfera e h l’altezza della calotta, suggerisce, infatti, un legame  con la superficie laterale del cilindro circoscritto (di raggio R e altezza h) e  rimanda  alla stupefacente relazione tra la superficie della sfera e quella del cilindro ad essa circoscritto, trovata da Archimede.

Un’occasione per un approccio di tipo storico e una riflessione sui fondamenti della teoria delle aree e dei volumi.

La soluzione del problema

Autore

  • Adriana Lanza

    Laureata in matematica, all'Università “La Sapienza” di Roma. Vincitrice di concorso a cattedra per la classe matematica e fisica, ha  insegnato a Roma nel liceo scientifico “Cavour” e ha collaborato con la S.S.I.S del Lazio in qualità di insegnante accogliente per i tirocinanti. In pensione dal 2009, ha partecipato al progetto del MIUR “La prova scritta di Matematica degli esami di Stato nei Licei Scientifici: contenuti e valutazione”. Collabora alle attività di formazione della Mathesis.

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