Un quesito di probabilità

Ricreazioni matematiche: probabilità e paradossi nei “Pillow Problems”di Lewis Carroll

Un quesito di probabilità tratto dai Pillow Problems, risolti durante le ore d’insonnia

Un sacchetto contiene una pallina, della quale si sa soltanto che può essere bianca oppure nera. Si introduce nel sacchetto una seconda pallina, geometricamente uguale alla prima e di colore bianco. Dopo aver agitato il sacchetto, se ne estrae una pallina. Supponendo che la pallina estratta sia bianca, qual è la probabilità che quella rimasta nel sacchetto sia anch’essa bianca?

Lewis Carroll (1832-1898)

Questo problema si trova enunciato e risolto nel libro Pillow Problems, una collezione di 72 quesiti che Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), il Lewis Carroll di Alice nel paese delle meraviglie, pubblicò nel 1894.

Il problema del sacchetto fu riproposto nelle Questioni Didattiche del Periodico di Matematiche da Modesto Dedò (1914-1991) che nel numero 1/1965 ne riportò anche la soluzione (in traduzione originale), arricchita da alcuni commenti interessanti.

La soluzione

A prima vista, poiché lo stato del sacchetto dopo l’operazione è identico allo stato precedente, pare che la probabilità sia esattamente quella che era prima della operazione e cioè 1/2. Ma questo è un errore

Inizialmente, prima dell’introduzione della seconda pallina, la probabilità che il sacchetto contenga:

• a. una pallina bianca, è 1/2;
• b. una pallina nera, è 1/2.

Dopo aver introdotto una pallina bianca, le possibili configurazioni del sacchetto sono:

• a. due bianche, con probabilità 1/2;
• b. una bianca e una nera, con probabilità 1/2.

Ora, consideriamo la probabilità di estrarre una pallina bianca in ciascuno dei due casi:

• a. Se ci sono due bianche, l’estrazione di una bianca è certa (probabilità 1);
• b. Se c’è una bianca e una nera, la probabilità è 1/2.

Applicando il teorema di Bayes:

• a. due bianche: proporzionale a 1/2 × 1 = 1/2;
• b. una bianca e una nera: proporzionale a 1/2 × 1/2 = 1/4.

Normalizzando:

• a. 1/2 / (1/2 + 1/4) = 2/3;
• b. 1/4 / (1/2 + 1/4) = 1/3.

La probabilità che la pallina rimasta nel sacchetto sia bianca è quindi 2/3.

Una generalizzazione

La soluzione, molto semplice, riflette bene il carattere dell’opera da cui è tratta: Pillow Problems thought out during wakeful hours, cioè “Problemi pensati durante le ore insonni”. “Si tratta cioè di problemi a cui Dodgson pensava durante le ore d’insonnia e che quindi possono essere risolti senza ricorrere a molti calcoli”.

Una generalizzazione interessante fu proposta dallo stesso Dedò:

È dato un sacchetto contenente n palline, delle quali si sa che possono essere bianche oppure nere. Si introduce una pallina bianca, geometricamente uguale alle precedenti. Dopo aver agitato il sacchetto, si estrae una pallina (che risulta bianca) e non la si rimette. Qual è la probabilità che tutte le palline rimaste nel sacchetto siano bianche?

La risposta si ottiene attraverso un’applicazione del teorema di Bayes, estendendo i ragionamenti appena svolti.

Una curiosa variante di Dodgson

Dodgson stesso ne propose a chiusura dei Pillow, come problema 72, un’ulteriore versione:

Un sacchetto contiene due palline, delle quali non si sa nulla, tranne che possono essere nere o bianche. Determina il loro colore senza estrarle dal sacchetto.

La soluzione di Dodgson: una è nera e l’altra è bianca.

Ma ovviamente non è così: è impossibile determinare i colori delle palline dalle informazioni fornite.

Il Problema 72 è quello che ha attirato la maggiore attenzione e la soluzione di Dodgson è stata interpretata come uno scherzo e una divagazione paradossale. Scrive, infatti: “Al lettore occasionale potrebbe sembrare anormale o persino paradossale, ma vorrei che un tale lettore si ponesse candidamente la domanda: «Non è forse la vita stessa un paradosso?».

Conclusione

La probabilità, nelle mani di Lewis Carroll, diventa un terreno di esplorazione logica e immaginazione. Nati tra le ombre della notte, questi problemi conservano ancora oggi un valore formativo straordinario: semplici nella forma, profondi nei contenuti, sono perfetti per avvicinare studenti e appassionati alla logica della probabilità. Si possono trovare qui