Una gara matematica firmata de Finetti

L’ordine oltre il caos: la ricerca degli invarianti geometrici. Gli ultimi due quesiti della gara del 1973

Siamo giunti all’ultimo appuntamento con la Gara Matematica del 16 marzo 1973. Nei precedenti articoli abbiamo visto come Bruno de Finetti sfidasse, nei diversi quesiti, gli studenti a smascherare gli automatismi numerici e a saper vedere: prima scoprendo un triangolo nascosto in un segmento spezzato, poi riconoscendo un esagono e un iperboloide nel moto di un cubo rotante. Poi ancora evitando il tranello delle percentuali e dei calcoli sulle coppie di cifre finali dei numeri quadrati.

Tanto che Adriana Lanza ha subito commentato: «A quanto pare, “la matematica non più tecnica ma pensiero” non è una scoperta delle Nuove Indicazioni Nazionali per i Licei del 2026».

L’osservazione coglie un punto essenziale. Molto prima degli slogan pedagogici, de Finetti — e molti altri prima di lui — avevano costruito problemi capaci di sviluppare intuizione, controllo del significato, capacità di visualizzazione e spirito critico.

Ma c’è di più. La gara del 1973 non mancò di portare gli studenti anche sul terreno della geometria classica, mettendoli alla prova in modo ancora più aperto su una delle capacità più elevate del saper vedere in matematica: l’individuazione degli invarianti.

In matematica, un invariante è una proprietà che resta immutata anche quando tutto il resto sembra cambiare, deformarsi o trasformarsi. Saper cogliere un invariante significa trovare l’ordine nascosto dietro il disordine. I quesiti numero 2 e 4 della gara sono due piccole gemme costruite proprio per questo scopo.

Il quesito 2 riprende un classico risultato della geometria sintetica, oggi noto come teorema di Varignon, ma lo declina in una forma pienamente coerente con lo stile di de Finetti.

Dimostrare che partendo da un quadrilatero qualsiasi e congiungendo i punti medi dei suoi lati, si ottiene sempre un parallelogramma; discutere con riferimento alle diagonali del quadrilatero in quali casi si tratta di un rettangolo, di un rombo, di un quadrato.

La parola chiave è «qualsiasi». De Finetti invita lo studente a partire da un quadrilatero completamente arbitrario: convesso o concavo, regolare o meno, armonioso oppure sbilenco. Eppure, basta individuare i punti medi dei quattro lati e congiungerli per vedere emergere, come per magia, una figura dotata di una precisa regolarità: un parallelogramma.

Dietro questa sorprendente stabilità si riconosce il principe degli invarianti: Talete, ovvero il teorema per cui vale la proprietà che il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e uguale alla sua metà.

Per comprenderne la ragione è sufficiente tracciare le diagonali del quadrilatero iniziale e applicare più volte tale proprietà. Per la soluzione ci piace comunque riportare quella di Bruno Rizzi presa dal suo Quaderno N.1 più volte citato.

Il quesito 4 appare inizialmente molto diverso. Ecco il testo:\(\)

«Di una corona circolare si conosce la larghezza \(d = 36\text{ cm}\) (\(d = R-r\), differenza dei raggi) e la corda del cerchio esterno tangente al cerchio interno; \(c = 96\text{ cm}\). Dare l'espressione generale di \(R\) (e quindi di \(r\)) in funzione di \(d\) e \(c\).»

Ricapitolando, si conoscono la differenza dei raggi di una corona circolare,

\[
d=R-r,
\]

e la lunghezza \(c\) della corda del cerchio esterno tangente al cerchio interno. Occorre determinare i due raggi \(R\) e \(r\).

A prima vista sembra un problema puramente algebrico. In realtà, anche qui il cuore concettuale consiste nell'individuare una quantità geometrica che rimane stabile.

Se si considera il raggio del cerchio interno condotto al punto di tangenza della corda, esso risulta perpendicolare alla corda stessa e la divide a metà. Si forma così un triangolo rettangolo che ha per cateti \(r\) e \(c/2\) e per ipotenusa il raggio esterno \(R\).

Applicando il teorema di Pitagora si ottiene immediatamente la relazione fondamentale:

\[
R^2=r^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2,
\]

ossia

\[
R^2-r^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2=\frac{c^2}{4}.
\]

Ed è proprio questa differenza di quadrati a svolgere il ruolo di invariante fondamentale del problema.

Vale la pena osservare che essa è strettamente collegata anche all'area della corona circolare. Infatti

\[
\pi(R^2-r^2)=\pi\frac{c^2}{4},
\]

per cui l'area dipende soltanto dalla lunghezza della corda tangente \(c\) e non dai singoli valori di \(R\) e \(r\).

Ricordando che il testo fornisce già

\[
R-r=d,
\]

si ottiene

\[
d(R+r)=\frac{c^2}{4},
\]

da cui

\[
R+r=\frac{c^2}{4d}.
\]

A questo punto il problema è sostanzialmente risolto. Conoscendo sia la differenza sia la somma dei due raggi, un semplice sistema lineare fornisce l'espressione generale richiesta:

\[
R=\frac12\left(\frac{c^2}{4d}+d\right)
=\frac{c^2+4d^2}{8d},
\]

e

\[
r=\frac12\left(\frac{c^2}{4d}-d\right)
=\frac{c^2-4d^2}{8d}.
\]

In particolare, per i valori

\[
c=96\text{ cm}
\qquad \text{e} \qquad
d=36\text{ cm},
\]

suggeriti dall'enunciato, si ha:

\[
R=50\text{ cm}
\qquad \text{e} \qquad
r=14\text{ cm}.
\]

Infine, dalla formula

\[
r=\frac{c^2-4d^2}{8d},
\]

segue immediatamente che \(r>0\) se e solo se

\[
c^2>4d^2,
\]

ossia

\[
c>2d.
\]

Il problema ammette quindi soluzioni geometricamente significative per ogni valore di \(c>2d\). Nel caso limite \(c=2d\) si avrebbe \(r=0\), mentre per \(c<2d\) il valore di \(r\) risulterebbe negativo e quindi privo di significato geometrico.

Conclusione

Rileggendo oggi l'intera gara del 16 marzo 1973 colpisce la varietà dei temi affrontati e il loro giusto equilibrio. Ma colpisce ancora di più l'unità del metodo, che è forse la lezione più attuale che possiamo trarre dai sei quesiti di quel venerdì della Mathesis: essi restano ancora oggi una piccola e preziosa scuola di pensiero matematico.

Presenteremo in un prossimo intervento il testo della gara del 1974, forse l'ultima curata direttamente da de Finetti, anche per ricordare lo spirito con il quale venivano organizzate e sostenerne, per quanto possibile, la sopravvivenza:

«Le gare matematiche, in qualunque accezione, costituiscono indubbiamente un elemento e un argomento di grande interesse nello sviluppo dell'educazione matematica, come complemento, e in certo senso si potrebbe anche dire come contrappeso od antidoto dell'istruzione scolastica.»