La formula di Eulero, un ponte fra Algebra e Geometria

La formula di Eulero dà luce alla profonda unità della matematica.

La formula di Eulero e^{ix}=cosx+isenx

è paragonabile alla sommità di un monte da cui è possibile godere di un ampio panorama e scorgervi conformazioni e simiglianze altrimenti inimmaginabili. Se cambiamo x in –x. Abbiamo:

e^{-ix}=cosx-isenx

E, sommando membro a membro:

cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

senx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

Il risultato è notevole. Lo è perché il coseno e il seno sono i personaggi fondamentali della trigonometria che siamo abituati a vedere e a definire in ambito geometrico: come rapporti di ciascuno dei due cateti all’ipotenusa di un triangolo rettangolo o, più semplicemente e rapidamente, come coordinate di un punto della circonferenza unitaria. Sono modalità di introduzione didattica allo studio di questo storico capitolo della matematica che sono state oggetto di tante riflessioni e sperimentazioni.

Adesso le cose cambiano. Il riferimento alla geometria non c’è. Si perde. Coseno e seno sono definiti unicamente in termini di algebra e operando algebricamente è possibile ri-costruire identità e formule della trigonometria. A partire dalla fondamentalissima: sen^{2}x+cos^{2}x=1

Infatti è:

\left ( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right )^{2}=\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}+2}{4}+\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}-2}{-4}=1

E così si può proseguire per tutte le altre identità e formule della trigonometria. C’è una riduzione della Trigonometria all’Algebra. Ma “riduzione” in sé è termine limitativo, dà il senso della perdita di qualcosa, mentre invece c’è un arricchimento, c’è l’unità della matematica che risalta e la formula di Eulero che apre un solido ponte tra Algebra e Geometria entrambe chiavi per entrare nel palazzo della Trigonometria.

 

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