La soluzione di un esercizio sui numeri interi assegnato agli esami di maturità nelle scuole dell’impero austro-ungarico.
«Trovare un numero intero che diminuito di 1 è multiplo di 25 e aumentato di 1 diventa multiplo di 11».
Un gruppo di amici sta discutendo il problema. Ognuno vorrebbe essere il primo a risolverlo. Sono a passeggio in un parco e uno degli amici utilizza il telefonino come calcolatrice. È suo un primo risultato importante: un numero siffatto termina con 1 oppure con 6 perché diminuendolo di 1 deve essere un multiplo di 25 che a sua volta termina per 0 o per 5.
Ecco allora che si fa avanti un altro affermando che la risposta è 76, perché 75 è 3·25 e 77 è 7·11. Ma 76 è unico o ne esistono altri?
Uno degli amici, fino a quel momento in silenzio impegnato a scrivere su un foglietto di carta, dice di aver trascritto i multipli di 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, …, fino a 352. Ecco, dice: 76 è il più piccolo dei numeri che godono di questa proprietà, il secondo è 351 che diminuito di 1 è uguale a 14·25. Ci sarà certamente un successivo e per trovarlo non occorre fare altro che andare avanti nella costruzione dei multipli di 11, fino a trovarne un altro che diminuito di due unità terminerà con 0 oppure con 5.
– Si, ma dovremo cercare un modo più rapido per trovarli, una formula!
– Un attimo, dice quello del foglietto di carta, ho trovato: dopo 76 e 351, il terzo numero è 626.
– Allora, se è così, il segreto è svelato: la differenza tra 351 e 76 e tra 626 e 351 è la stessa, è 275. E quindi il successivo dovrebbe essere 626+275. Potete controllare?
– La calcolatrice dà: 901. Sì, è veramente il successivo: 900 è multiplo di 25 e 902 è divisibile per 11 perché la differenza fra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è 11.
– Allora, abbiamo trovato la formula! Basta aggiungere 275. I numeri cercati sono della forma: 76+275k per k che va da zero a infinito. I numeri cercati costituiscono cioè una progressione aritmetica di ragione 275 e primo termine 76 e non ci vuole molto a verificare che è così! Ecco i primi dieci termini:
76, 351, 626, 901, 1176, 1451, 1726, 2001, 2276, 2551
– Sono d’accordo. Ma perché accade questo e da dove esce fuori la “ragione” 275?
– Ecco: se indico con m il numero, allora m-1= 25k e m+1=11h quindi il loro prodotto m2-1 è multiplo sia di 25 che di 11, cioè di 275. Questo penso che in qualche modo c’entri, ma ci lavorerò dopo, a casa, seduto alla mia scrivania.
La discussione fin qui riportata si potrebbe pensare svolta all’interno di un gruppo di studenti di scuola secondaria di primo o di secondo grado. Costituirebbe in tal senso un buon esempio d’impegno intellettuale nel fare matematica.
Il problema discusso dal gruppo di amici ha comunque una storia interessante alle spalle: è un problema assegnato agli esami di maturità nel Ginnasio di Capodistria, quando ancora esisteva l’impero degli Asburgo. Ecco il testo originario:
Quali numeri hanno la proprietà di diventare divisibili per 11 se vengono di una unità aumentati e per 25 se di una unità diminuiti? Si determini la somma dei primi 10 numeri aventi questa proprietà.
Il problema, insieme ad altri, faceva parte di una selezione di “Temi di matematica dati per l’esame di maturità in Ginnasi e scuole reali superiori dell’Austria-Ungheria alla fine degli anni scolastici 1891-92 e 1892-1893″. La selezione compare su un numero del Periodico di Matematica del 1894 che fin dal suo primo numero del 1886 aveva dato spazio alla pubblicazione di temi di maturità assegnati all’estero e principalmente in Austria e in Francia. Era un modo di come contribuire a far crescere il giovane sistema scolastico nato con l’unità d’Italia. Per inciso va detto che nelle scuole austro-ungariche i candidati erano tenuti a risolvere almeno due problemi sui tre che costituivano il tema, una formula questa analoga a quella che per anni fu adottata anche in Italia.
Altri Riferimenti ai temi di maturità di fine Ottocento in:
- Il primo numero del Periodico di Matematica
- Nell’archivio storico il Periodico del 1887
- I fascicoli del 1888 del Periodico di Matematica
- Equazioni per una parola
- L’insegnamento nei primi anni dell’unità d’Italia
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