C’è ancora chi parla di eccellenza e utilità della geometria?

Non è bene ignorare la geometria. È bene, prima di tutto, che gli stessi insegnanti non perdano memoria dei «sentimenti di autori illustri intorno alla eccellenza e alla utilità della geometria».

Ivi non entri chi non è geometra

L’antologia di Vincenzo Viviani sulla «eccellenza e utilità della geometria», citata in un recente articolo  di Emilio Ambrisi, offre un approccio storico al dibattito sulla necessità di mantenere vivo, nella didattica, l’interesse per la geometria e per i metodi sintetici nella risoluzione dei problemi.

La lettura del brano tratto dai “Dialoghi dei massimi sistemi del Mondo”, mette in luce la fiducia di Salviati-Galileo nella forza del ragionamento matematico per scoprire le “fallacie” dei propri avversari, ostili alle «sottigliezze geometriche» che distolgono dal ben filosofare.

La geometria, però, non è solo rigore nel dedurre e nell’argomentare e diventa in effetti uno strumento di indagine e di conoscenza della realtà.

E’ noto come Galileo riuscisse a sfruttare le potenzialità dei metodi geometrici per la sua indagine fisica e utilizzasse il linguaggio della matematica per leggere il libro della natura.

Tramite le proprietà geometriche delle coniche, in particolare della parabola, può descrivere il moto dei proiettili e, viceversa, facendo cadere una sferetta lungo una superficie liscia,  riesce a disegnare una parabola, come un compasso che traccia una circonferenza.

Comprende perfettamente, peraltro, che gli strumenti matematici in suo possesso si rivelano inadeguati di fronte ai problemi che sfociano nella sfera dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo, come accade nella prima giornata dei ”Discorsi e dimostrazioni….”  in cui si discute sulla materia e sulle cause della coesione tra le varie parti dei solidi. Galileo credeva nell’esistenza del vuoto al quale attribuiva anche una forza  misurabile, che spiegava non solo il funzionamento delle pompe idrauliche ma anche la resistenza dei corpi alle sollecitazioni di trazione.

Costretto ad affrontare alcune questioni (quali la continuità, il vuoto, l’atomo) solo con la suggestione delle ipotesi e la forza dell’analogia, non rinuncia agli esempi mutuati dalla matematica e, in particolare, dalla geometria.

Con l’esempio seguente, non esente da critiche ma sicuramente suggestivo,  Salviati illustra  ai suoi interlocutori come si possa immaginare l’esistenza di un segmento di lunghezza finita costituito da infiniti punti o particelle ( “indivisibili”) e infiniti punti di vuoto (“vacui”).

Con riferimento alla  figura ( immagine tratta dall’opera di Galileo), l’esagono regolare ABCDEF  rotola lungo la retta AB trascinando il poligono minore. Il primo, alla fine, avrà percorso il segmento AS di lunghezza pari al suo perimetro e suddiviso in 6 parti di lunghezza pari al lato, mentre nel  percorso HT si alternano 6 segmenti e 6 archi di circonferenza.  Il centro G avrà toccato la retta  GV solo in 6 punti.

Facendo tendere a infinito il numero dei lati, i percorsi delle due circonferenze e del loro centro, sono 3 segmenti congruenti. Come è possibile? La spiegazione sta proprio nella presenza di infiniti indivisibili vacui.

«…E qui voglio che notiate, come risolvendo e dividendo una linea in parti quante, e per consequenza numerate, non è possibile disporle in una estensione maggiore di quella che occupavan mentre stavano continuate e congiunte senza l’interposizione d’altrettanti spazii vacui; ma imaginandola risoluta in parti non quante, cioè ne’ suoi infiniti indivisibili, la possiamo concepire distratta in immenso senza l’interposizione di spazii quanti vacui, ma sì bene d’infiniti indivisibili vacui…»

La conversazione prosegue con una digressione sui  paradossi in cui si cade quando si tenta di operare sull’infinito; tra questi  trova posto il noto teorema della «scodella». Nel dimostrare l’equivalenza dei due solidi si affronta tacitamente la teoria degli “indivisibili “ di Bonaventura Cavalieri che, applicata con successo da Luca Valerio, permise di determinare il volume della sfera.

Non è difficile scorgere nel dibattito su indivisibili, continuo, infinito e infinitesimi l’origine del calcolo infinitesimale e il passaggio dai metodi geometrici ai metodi analitici nell’indagine dei fenomeni fisici.

E’ importante, altresì, ricordare il contributo fondamentale della Geometria di Cartesio e il ruolo del suo pensiero filosofico nel periodo della crisi dell’aristotelismo.

La  nascita della nuova Scienza supera il paradigma della fisica scolastica ma, soprattutto, segna  il declino della filosofia aristotelica e fa nascere l’esigenza di una nuova metafisica come supporto e garanzia dell’indagine fisica.

Secondo Ludovico Geymonat, la filosofia di Cartesio fu subito interpretata come il nuovo aristotelismo, non meno accordabile con la religione cristiana e capace di offrire alla nuova scienza quantitativa una base  sicura e generale, come fu l’aristotelismo per la vecchia fisica qualitativa. Il razionalismo cartesiano riconosce il ruolo privilegiato dell’uomo e del suo pensiero nei confronti  della realtà esterna.  Il “Cogito” è la prima verità e il punto di partenza di ogni verità.

La nuova Geometria, scienza essenzialmente analitica, permette una trattazione uniforme di tutte le questioni geometriche e risolve i problemi in modo efficace e con risultati di ampia generalità.

Passiamo ora ad alcune considerazioni in campo didattico e pedagogico, anche se, ovviamente, l’evoluzione del pensiero matematico e scientifico non si ferma qui e la digressione di carattere storico potrebbe arrivare al  rapporto fisica-geometria nel pensiero moderno.

Un recente articolo on line di Maria Dedò, già docente di geometria e nota divulgatrice di matematica, porta un titolo decisamente eloquente: “Ignorare la geometria fa male a tutti”

L’autrice prende spunto da un problemino di geometria, proposto da una rivista, per tornare su un argomento che ha più volte commentato, cioè quanto la geometria sia sempre più trascurata nell’insegnamento scolastico e quante deleterie conseguenze ciò comporti.

Il problema in esame era etichettato come livello «alto», riservato a studenti dell’ultimo anno di secondaria superiore, e viene risolto algebricamente, con un procedimento non eccessivamente complesso ma neppure  banale.

Una prima occhiata alla figura suggerisce, invece, una semplice ed evidente soluzione geometrica, alla portata di ragazzi di scuola secondaria di primo grado o addirittura di scuola primaria, come alcuni docenti hanno potuto sperimentare  nelle loro classi.

A conclusione dell’articolo si ribadisce l’invito, rivolto  ai docenti e agli autori dei libri di testo, a  formulare i problemi in modo consapevole, scegliendo e giustificando le soluzioni più opportune, affinché lo studente rafforzi il suo interesse e la sua  fiducia nella matematica.

In Italia la geometria euclidea è sempre stata uno dei temi portanti dei programmi di matematica ed è molto antico il dualismo  sintetico/analitico nella risoluzione dei problemi.

Ancora attuale, in proposito,  è il commento di Felix Klein che non parlava di dualismo bensì di dualità tra geometria sintetica e analitica:

«…. . Se il metodo sintetico procede di più per mezzo dell’intuizione    dello spazio, accordando così alle sue prime e semplici teorie un’attrattiva non comune, tuttavia il campo di tali intuizioni non è chiuso al metodo analitico, e le formole della geometria analitica si possono concepire come espressione esatta e trasparente delle relazioni geometriche».

Un suggerimento analogo  si legge nei programmi Brocca del biennio (1992) e nelle Indicazioni nazionali per i licei (2010), anche se traspare un rovesciamento dei valori, rispetto ai tempi di Klein.

Quest’ultimo, infatti, mira a non enfatizzare nell’insegnamento il rigore euclideo (ricordiamo che, almeno in Italia, la geometria si studiava sul testo dello stesso Euclide). In tempi più recenti si cerca di arginare il fenomeno del ridimensionamento dei metodi sintetici, ricordandone la capacità formativa nell’osservare, rappresentare, argomentare.

Programmi Brocca:« …Un traguardo importante dello studio della geometria è il piano cartesiano, come modello del piano euclideo. Con la sua introduzione sono disponibili, per la risoluzione dei problemi geometrici, sia il metodo della geometria classica che quello della geometria analitica, e lo studente va stimolato ad usare l’uno o l’altro in relazione alla naturalezza, alla espressività e alla semplicità che essi offrono nel caso particolare in esame.»

Indicazioni: «L’intervento dell’algebra nella rappresentazione degli oggetti geometrici non sarà disgiunto dall’approfondimento della portata concettuale e tecnica di questa branca della matematica».

Purtroppo, la potenza dei metodi analitici sta avendo il sopravvento facendo perdere di vista il  ruolo della percezione e della comprensione intuitiva per l’apprendimento dei concetti astratti.

Il proposito di sollecitare o illustrare  soluzioni alternative  non trova certo un ostacolo nella scelta dei problemi adatti,  di cui si possono trovare svariati esempi.  Sicuramente richiede un notevole impegno nella progettazione dei percorsi didattici e nell’organizzazione del tempo-scuola.

Non è da escludere, però,  un’eventuale scarsa o tiepida motivazione da parte del docente.

C’è ancora chi parla di eccellenza e utilità della geometria?