Gli anni del PNI: una storia d’innovazioni e di partecipazione. La Statistica nella didattica e nelle prove d’esame. Quesiti e soluzioni.
L’ introduzione della Statistica e del Calcolo delle Probabilità nell’insegnamento liceale fu una delle novità di rilievo delle sperimentazioni della seconda metà del secolo scorso. La motivazione principale era la necessità di colmare una carenza del sistema educativo italiano e rendere l’istruzione liceale più in linea con le esigenze di una società in rapida evoluzione, in cui la capacità di comprendere e utilizzare i dati era diventata una competenza fondamentale. Contestualmente, però, veniva riconosciuta la valenza didattica del ragionamento statistico e il suo ruolo nella formazione del pensiero critico dello studente, accanto ad altre parti della matematica e ad altre discipline come la fisica e la filosofia.
Nel commento ai temi che, nella Nota ministeriale, accompagnano il programma di matematica del PNI si legge:
«Gli elementi di calcolo delle probabilità e statistica rispondono all’esigenza di abituare l’alunno ad effettuare modellizzazioni di situazioni in condizioni di incertezza» ma anche «Particolare cura sarà posta nel ricordare le basi storiche e filosofiche (Pascal, empirismo inglese, ecc.)».
La comprensione della peculiarità del pensiero statistico permette, inoltre, di riflettere sui limiti degli strumenti matematici utilizzati, sui pericoli di un uso non accorto degli stessi o di una lettura superficiale, se non abusiva, dei risultati. Una riflessione che permetterebbe, tra l’altro, di affrontare gli episodi di diffidenza nei confronti della Statistica, dall’ironia di Trilussa al rifiuto della sua autorevolezza, culturale o istituzionale, al quale spesso assistiamo ai nostri giorni.
Dal punto di vista didattico era importante, e non semplice, armonizzare il ragionamento matematico e il ragionamento statistico, diversi tra loro ma complementari.
“I pericoli della Statistica” è il titolo della relazione che Corrado Gini tenne alla prima Riunione scientifica della SIS tenutasi a Roma il 9 ottobre 1939, la cui lettura suggerisce ancora alcune interessanti osservazioni .
La Statistica si riferisce a fenomeni collettivi e non a singoli casi o a singoli individui. Con l’aiuto dei metodi matematici del Calcolo delle probabilità, può assegnare un grado di fiducia ai suoi risultati ma non può arrivare a conclusioni sicure. Può aiutare nelle decisioni, può legittimare dei dubbi più o meno forti (e questa è certamente una funzione utile) ma non può mai scioglierli in modo definitivo.
Gini paragona la statistica a «una bella donna, che si avventura in paesi inesplorati e non disdegna la compagnia di gente sconosciuta». «…… la statistica è indubbiamente una scienza molto seducente, come è provato dal fatto che ad essa si accostano e aspirano, non solo i molti che la conoscono a fondo, ma anche quelli – e sono molti di più – che la conoscono appena di vista. È una scienza che, per alcuni campi, ha una funzione di avanscoperta e, in altri, è addirittura la sola ad avventurarsi; è una scienza che si associa senza difficoltà ad ogni altra branca dello scibile, e spesso poi gradisce o cerca la compagnia di un attraentissimo, ma pericolosissimo, soggetto, denominato calcolo delle probabilità. Pareva un «enfant prodige» questo calcolo delle probabilità e quante speranze non aveva fatto sorgere nella puritana famiglia delle matematiche a cui appartiene!»
Cosa avrebbe detto Corrado Gini di fronte all’accoglienza riservata alla Statistica nei licei?
I docenti, in effetti, dimostrarono subito di cedere alle lusinghe del bel “giovane intraprendente”, a discapito della disponibilità della “bella signora” ad avventurarsi in paesi inesplorati.
Tralasciando la suggestiva metafora, ricordiamo come il dibattito e le discussioni sui nuovi programmi, scaturiti soprattutto dopo le prime prove di statistica assegnate agli esami di maturità scientifica, rivelarono una scarsa motivazione verso l’insegnamento di questa disciplina, una reticenza da parte di alcuni docenti, che però non aveva nulla a che vedere con le la diffidenza nei confronti dei suoi risultati.
Il tema “Probabilità e Statistica” , risultava essere quello meno svolto, ovvero quello che veniva sacrificato, nella maggioranza dei casi, di fronte alla vastità dell’offerta formativa. Per molti docenti gli argomenti erano lontani dalla loro preparazione professionale o percepiti come meno significativi per la formazione di base degli allievi.
Tra le due discipline si salvava generalmente il Calcolo delle Probabilità, più vicino alla matematica nell’approccio didattico, nei suoi aspetti epistemologici e nelle sue trame concettuali.
Il legame tra Matematica e Statistica appariva, invece, solo strumentale e, pur favorendo una valida attività di matematizzazione, le questioni trattate sembravano richiedere un tipo di mentalità diversa da quella insita in altre parti della matematica.
Inoltre, mentre sicuramente la Statistica si prestava ad una didattica laboratoriale , non era immediato inserire nelle prove in corso d’anno (o in sede d’esame ) la valutazione delle competenze acquisite.
La possibilità di creare legami con molte altre discipline non era presa in considerazione non essendosi ancora affermata una cultura dell’interdisciplinarità ,come avvenne negli anni successivi, con la nascita della multimedialità e l’evoluzione delle tecnologie di comunicazione .
L’ insegnamento sempre più orientato verso attività pluridisciplinari favoriva l’acquisizione, da parte degli allievi, di competenze trasversali. Molte classi cominciarono a dedicarsi alla progettazione di indagini statistiche di tipo osservazionale o sperimentale e alla presentazione dei risultati.
Si trattava, in effetti , di un nuovo tipo di didattica laboratoriale, in un laboratorio più vasto e con strumenti diversificati.
Nel nuovo ordinamento dei licei, nell’ambito della Riforma Gelmini, la Statistica e il Calcolo delle Probabilità sono entrati a pieno titolo nella sezione “Dati e previsioni”.
Le Indicazioni nazionali ribadiscono l’opportunità di un approccio operativo e l’importanza della dimensione interdisciplinare. Il fine ultimo ,però, non va oltre la modellizzazione di una classe di fenomeni e l’approfondimento del concetto di modello matematico.
Nei Quadri di riferimento per la formulazione della prova di matematica della maturità scientifica, si parla solo di Probabilità di un evento, Dipendenza probabilistica, Statistica descrittiva.
Le prove di statistica all’esame di Stato
La Statistica fa il suo ingresso nelle prove di maturità scientifica sperimentale nella sessione suppletiva del 1994. Per i docenti e per gli studenti è stato sicuramente un segnale e un invito a non sottovalutarne l’importanza nei percorsi di preparazione alla seconda prova scritta ma alla novità non fu dato molto rilievo. La sessione suppletiva coinvolgeva una minoranza dei candidati; inoltre, il problema proposto era abbastanza semplice e rimaneva sostanzialmente nell’ambito della Statistica descrittiva.
Ben diversa fu l’accoglienza del terzo quesito della sessione ordinaria dell’anno successivo.
Docenti e studenti manifestarono sorpresa e un certo sconcerto di fronte a un problema che poneva questioni di livello più avanzato, come la verifica delle ipotesi mediante la distribuzione normale e il test “chi quadrato”.
I candidati scartarono pressoché in massa il terzo quesito e si concentrarono sugli altri due , non semplici dal lato concettuale o nei calcoli, ma a loro più congeniali nei contenuti e nella formulazione .
Nel dibattito che ne scaturì, furono fatte le seguenti osservazioni:
- l’introduzione della statistica nei percorsi liceali è piuttosto recente e limitata ai corsi sperimentali; alcuni docenti non hanno avuto il tempo di organizzarne adeguatamente il percorso e il materiale didattico;
- anche gli studenti che avevano affrontato in classe gli argomenti proposti sono rimasti disorientati di fronte alla richiesta di lavorare sui test statistici senza poter usufruire delle apposite tavole o di software adeguato.( In effetti, come si evince dalle soluzioni proposte, l’ostacolo poteva essere facilmente superato nei casi specifici. Resta però valida la riflessione.)
- l’elaborazione di dati statistici non ha un percorso univocamente determinato e presuppone la conoscenza del contesto in cui si lavora e gli scopi dell’indagine stessa . La formulazione delle tracce d’esame, schematica e priva di informazioni estranee al contesto matematico ,le quali potrebbero appesantirne la lettura, non si adatta facilmente ai problemi di statistica .
Quest’ultima osservazione ci rimanda alle prove “autentiche” o “ di realtà” proposte nell’ultimo decennio ed invita ancora oggi a riflettere sul giusto peso da assegnare alla contestualizzazione , specialmente nella formulazione delle prove d’esame.
La risposta, da parte del Ministero, fu l’organizzazione di seminari nazionali di aggiornamento sull’insegnamento della Probabilità e della Statistica nei licei, con lo scopo precipuo di sensibilizzare i docenti sulla valenza educativa delle due discipline e sull’importanza di saper raccogliere e organizzare le informazioni, utilizzare strumenti scientifici di analisi, di comprensione e di previsione. I seminari furono anche occasione di incontro, di discussione, di scambio di opinioni.
Nel dibattito si inserirono anche l’ ISTAT e la SIS, interessati alla diffusione di una cultura statistica, mediante convegni e attività di divulgazione.
La Statistica cominciò ad essere valorizzata nei percorsi didattici mentre risultò essere sempre meno presente nelle prove d’esame. Negli anni successivi , fino al 2000, furono assegnati solo quesiti di Calcolo delle Probabilità, anche se i contenuti erano molto vicini alla Statistica: distribuzione normale o di Poisson , applicazione del Teorema di Bayes. In particolare, va segnalato il terzo problema del 1998, a suo tempo giudicato molto impegnativo, non tanto dal lato concettuale quanto per la dovizia e la specificità dei contenuti.
Nel periodo che va dal 2001 al 2014, anni in cui era stata introdotta la nuova struttura della prova scritta prevista dalla riforma Berlinguer e ultimi anni delle classi sperimentali agli esami di Stato, i quesiti di probabilità presentavano tipologie diversificate; spesso richiamavano problemi classici o erano connotati da riferimenti storico- letterari ( Il problema del Cavaliere de Méré, il gioco della zara citato da Dante, l’errore probabilistico di Edgar Allan Poe nel racconto “Il Mistero di Marie Rogêt”).
Di contenuto prettamente statistico può essere considerato il quesito 10 della sessione ordinaria 2005, un quesito sul concetto di media aritmetica e sulle sue proprietà, non difficile ma degno di nota per la formulazione della richiesta: «Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.»
Il «può….?» implica che lo studente debba costruire un modello matematico per stimare l’età media della popolazione ma che è anche invitato a leggere i risultati con occhio critico.
I calcoli portano ad un risultato poco realistico «L’età media della popolazione può essere uguale a 30, purché risulti costituita per il 60% da bambini di età media inferiore a 10 anni e per il 40% da adulti di età media compresa tra 60 e 75 anni».
In effetti, per una risposta coerente con un’indagine statistica ,il problema dovrebbe essere formulato in termini più precisi, eventualmente come un problema di verifica delle ipotesi.
Il quesito, che era già stato assegnato in una indagine OCSE- PISA per studenti quindicenni, fu oggetto di discussione nell’ambito dell’Indagine Nazionale sulla prova scritta di matematica agli esami di stato di liceo scientifico – Anno 2005 . Risultava tra i quesiti meno svolti completamente e correttamente. Il 18,1% dei docenti lo ha giudicato come il più difficile e il 3,3% come il più facile.
In proposito, si può consultare la tabella seguente proveniente dal Periodico di Matematiche della Mathesis. N.1 – Anno 2010.
Segue una selezione delle prove d’esame di maturità scientifica-PNI aventi contenuto statistico, la cui risoluzione può avere ancora una valenza didattica.
- Quesito 3- suppletiva 1994 (distribuzioni-indici statistici- confronto tra le medie)
- Quesito 3- ordinaria 1995 ( distribuzioni-indici statistici- verifica delle ipotesi- distribuzione normale e test “chi quadrato”)
- Quesito 3- ordinaria 1998 ( distribuzione normale-distribuzione geometrica- codifica di un algoritmo)
- Quesito 10- ordinaria 2005 ( proprietà della media aritmetica)
- Quesito 8 ordinaria 2012 ( Teorema di Bayes)
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