Un razzo nel piano cartesiano

Costruire immagini con equazioni di segmenti e archi di parabola con i relativi vincoli. Fare matematica in classe, fino al cuore della maturità.

La proposta Un gatto nel piano cartesiano si concludeva con un invito agli studenti: progettare un’altra immagine utilizzando segmenti e archi di parabola, scriverne le equazioni e precisare le condizioni necessarie a selezionare i diversi tratti. Sergio Casiraghi ha raccolto l’invito proponendo un nuovo esempio che ha riscontrato un consistente successo di letture tra i docenti e gli studenti: Un fantasmino. Per arricchire ulteriormente questo repertorio e offrire altri spunti alla creatività degli studenti, abbiamo provato anche a costruire un razzo.

Il percorso cambia però prospettiva. Per il gatto si partiva da una figura e da un elenco di equazioni da associare ai tratti numerati. Questa volta partiamo da un progetto: scegliamo alcuni punti, stabiliamo le caratteristiche delle curve e ricaviamo le equazioni che permettono di realizzarlo.

L’immagine da costruire diventa così una sequenza di problemi geometrici e algebrici. Quanto deve essere alto il razzo? Dove si incontrano la punta e i fianchi? Come ottenere due alette simmetriche? È possibile disegnare un oblò utilizzando soltanto archi di parabola?

Un progetto da tradurre in equazioni

Il razzo è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. La punta è un arco di parabola, i fianchi e le alette sono formati da segmenti. Due archi di parabola delimitano l’oblò; altri due suggeriscono la fiamma sotto la base.

Per la rappresentazione la finestra grafica con:

adotta la stessa unità grafica sui due assi.

Le informazioni seguenti permettono di costruire la figura. Per ciascun elemento si richiede di determinare l’equazione e le condizioni che delimitano il tratto.

1. Costruire la punta

La punta appartiene a una parabola con asse coincidente con l’asse delle ordinate. Il vertice è \(V(0,12)\) e l’arco termina nei punti \(A(-2,8)\) e \(B(2,8)\).

• Qual è l’equazione della parabola?
• Quale condizione sulle ascisse seleziona l’arco richiesto?
• È possibile selezionare lo stesso arco mediante una condizione sulle ordinate?

Poiché l’asse della parabola coincide con l’asse delle ordinate, si può partire dalla forma \(y=ax^2+c\), utilizzando il vertice e uno degli estremi per determinare i coefficienti.

2. Completare la fusoliera

Da \(A(-2,8)\) e \(B(2,8)\) scendono due segmenti verticali fino ai punti \(C(-2,3)\) e \(D(2,3)\). Un segmento orizzontale unisce \(C\) e \(D\).

Scrivete le equazioni delle rette cui appartengono i tre segmenti e aggiungete le condizioni che ne delimitano l’estensione.

Per i fianchi verticali, perché una condizione sulle sole ascisse non basta a selezionare i segmenti richiesti?

3. Disegnare l’oblò

L’oblò è delimitato da due archi di parabola con asse coincidente con l’asse delle ordinate.

L’arco superiore ha vertice \((0,9)\); quello inferiore ha vertice \((0,7)\). Entrambi hanno estremi \((-1,8)\) e \((1,8)\).

Determinate le equazioni delle due parabole e gli intervalli delle ascisse che selezionano gli archi richiesti.

La figura ottenuta può ricordare un’apertura circolare, ma il suo contorno non è una circonferenza. Confrontatelo con la circonferenza di centro \((0,8)\) e raggio 1: quali punti hanno in comune? Quali differenze si osservano?

4. Progettare le alette

L’aletta destra ha contorno triangolare, con vertici:

Il segmento \(PD\) appartiene già al fianco del razzo. Per completare l’aletta occorrono quindi soltanto i segmenti \(PQ\) e \(QD\).

Ricavate le equazioni delle rette cui appartengono \(PQ\) e \(QD\) e aggiungete le condizioni che selezionano i due segmenti.

Costruite poi l’aletta sinistra per simmetria rispetto all’asse delle ordinate. Come cambiano le coordinate dei vertici? Come si trasformano le equazioni delle rette?

5. Aggiungere la fiamma

Sotto la base, un segmento orizzontale unisce i punti \((-1,2)\) e \((1,2)\). Scrivete l’equazione della retta cui appartiene e la condizione che lo delimita.

Due archi di parabola, simmetrici l’uno dell’altro rispetto all’asse delle ordinate, suggeriscono la fiamma. La prima parabola ha asse verticale e vertice \((-1,-1)\); l’arco utilizzato unisce il vertice al punto \((0,2)\). La seconda è la sua simmetrica e l’arco corrispondente unisce il vertice \((1,-1)\) allo stesso punto \((0,2)\).

Determinate le equazioni delle due parabole e le condizioni che selezionano gli archi rappresentati.

6. Verificare la costruzione

Inserite in un software le equazioni e le condizioni individuate.

I tratti si incontrano nei punti previsti? Il disegno è simmetrico? Compaiono prolungamenti indesiderati o mancano parti della figura?

Il controllo può essere svolto anche attraverso il calcolo: sostituite nelle equazioni le coordinate degli estremi e verificate che soddisfino le relazioni.

Le equazioni per il confronto

L’elenco seguente può essere consegnato dopo il lavoro, per confrontare i risultati e discutere eventuali differenze nella scelta dei vincoli.

Il razzo può cambiare

Quello realizzato è uno dei possibili progetti. Si può chiedere agli studenti di modificarlo, scegliendo quali caratteristiche conservare.

Come cambiare l’altezza del vertice della punta mantenendo fissi gli estremi dell’arco? Come allargare l’oblò conservandone il centro di simmetria \((0,8)\)? E come estendere lateralmente le alette mantenendo fissi i punti di attacco alla fusoliera?

Ogni modifica richiede di rivedere le equazioni, le condizioni che delimitano i tratti o entrambe. Gli studenti possono infine progettare una propria immagine e scambiare con i compagni le istruzioni algebriche per ricostruirla, specificando anche la finestra grafica e le scale sui due assi.

L’invito con cui si concludeva il primo articolo trova così un esempio concreto: scegliere una forma, stabilire punti e proprietà, ricavare le equazioni e verificare che il disegno corrisponda all’idea.

Oltre le rette e le parabole

Possiamo anche superare il vincolo di utilizzare soltanto segmenti e archi di parabola. Un software di rappresentazione grafica permette di esplorare curve che sarebbe più impegnativo tracciare a mano e di osservare quali figure nascano dalla loro composizione.

Consideriamo, per esempio, le funzioni:

Prima di rappresentarle, chiediamoci: per quali valori di \(x\) sono definite? I loro grafici sono simmetrici rispetto all’asse delle ordinate? Quali punti hanno in comune?

La condizione \(1-x^2\geq0\) individua per entrambe il dominio:

Le due funzioni sono pari: sostituendo \(x\) con \(-x\), il loro valore non cambia. I rispettivi grafici sono quindi simmetrici rispetto all’asse delle ordinate.

Rappresentiamoli separatamente, utilizzando la stessa finestra grafica e unità di uguale lunghezza sui due assi. Si può scegliere, per esempio, la finestra:

I due grafici si incontrano quando \(f(x)=g(x)\), cioè quando \(\sqrt{1-x^2}=0\). Hanno dunque in comune soltanto gli estremi \((-1,1)\) e \((1,1)\). Sull’asse delle ordinate passano invece per punti diversi: il grafico di \(f\) per \((0,-1)\), quello di \(g\) per \((0,1)\).

Che cosa apparirà riunendoli nello stesso piano cartesiano?

Compare il contorno di un cuore. In questo caso non abbiamo aggiunto condizioni per ritagliare le curve: abbiamo utilizzato entrambi i grafici sull’intero dominio.

Ciascuno dei due grafici rappresenta una funzione di \(x\), ma la loro unione non può essere il grafico di un’unica funzione \(y=h(x)\): per ogni ascissa interna all’intervallo \([-1,1]\) si ottengono infatti due ordinate distinte. Gli estremi sono gli unici punti nei quali i due valori coincidono.

Questa costruzione compariva nel problema 2 della prova di matematica della sessione ordinaria della maturità scientifica 2024. Su Matmedia è disponibile la soluzione di Adriana Lanza, con lo studio delle funzioni e la figura ottenuta dall’unione dei loro grafici.

L’invito a comporre immagini attraverso le equazioni trova così un collegamento con un problema della maturità che è anche ricordato per la frase di Ennio De Giorgi: «All’inizio e alla fine, abbiamo il mistero. […] A questo mistero la matematica ci avvicina, pur senza penetrarlo» posta a cornice com'è poi divenuto irragionevolmente abituale, ma solo per la sessione ordinaria d'esame.

Il rapporto tra equazioni e immagini può essere esplorato in modi diversi. I lavori proposti suggeriscono tre possibili percorsi.

Prima via: dalla figura alle curve.
È il percorso del gatto: la figura è già costruita e si dispone di un elenco di equazioni. Si devono riconoscere le curve cui appartengono i tratti e individuare i vincoli che li delimitano. Il lavoro rafforza la capacità di leggere l’andamento delle curve, riconoscerne le simmetrie e determinare gli estremi dei tratti, distinguendo la curva completa dall’arco utilizzato.

Seconda via: dall’idea della figura alle equazioni.
Decidiamo di rappresentare un razzo e ne tracciamo uno schizzo. Poi scegliamo i punti significativi, scomponiamo il contorno in segmenti e archi e ricaviamo equazioni e condizioni. Anche la scelta delle curve fa parte del problema. Il disegno iniziale può essere modificato quando una forma risulta difficile da ottenere con gli strumenti disponibili. La proposta sul razzo, fornendo già vertici ed estremi, costituisce una versione guidata di questo percorso.

Terza via: dalle curve a una figura possibile.
Si assegna un repertorio di curve e si esplorano gli archi che possono essere selezionati e combinati. Si può cercare di realizzare un’immagine già pensata oppure osservare le composizioni e riconoscervi qualcosa. La figura può così emergere durante l’esplorazione, attraverso tentativi e revisioni. Il software permette di confrontare rapidamente diverse scelte.

Il cuore offre un esempio di composizione nel quale non occorre selezionare ulteriori archi: l’immagine nasce dall’unione dei due grafici sui rispettivi domini. Per rendere l’attività più esplorativa, si potrebbe proporre un insieme più ampio di curve, lasciando agli studenti la scelta di quali combinare.