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Definizione di uguaglianza di rapporti di Eudosso

La definizione di uguaglianza di rapporti di Eudosso La scoperta delle grandezze incommensurabili aveva provocato un vero e proprio "scandalo logico"

La definizione di uguaglianza di rapporti di Eudosso

La scoperta delle grandezze incommensurabili aveva provocato un vero e proprio “scandalo logico”. Aveva reso inaccettabili teoremi che implicavano proporzioni e sorgeva il “dilemma” di confrontare due grandezze incommensurabili.

Eudosso di Cnido (408-355 a.C. circa) diede una nuova definizione di rapporti uguali che venne accettata universalmente: il modo come l’abbia fatto è ancora sconosciuto.
Era noto che quattro quantità sono in proporzione (a:b=c:d) se nei due rapporti a:b  e  c:d la quantità più piccola può essere sottratta dalla quantità più grande lo stesso numero intero di volte, e il resto (per ciascun rapporto) può essere sottratto dalla quantità più piccola lo stesso numero intero di volte, e così via. Questa definizione risultava evidentemente “scomoda” da usare.
Il notevole salto logico affrontato da Eudosso è facilmente messo in luce dalla famosa sua formulazione.

Così espressa da Euclide nella definizione 5 del quinto libro degli Elementi:

Si dice che delle grandezze sono nello stesso rapporto, la prima con la seconda e la terza con la quarta, quando, se si prendono equimultipli qualsiasi della prima e della terza, ed equimultipli della seconda e della quarta, i primi equimultipli superano ugualmente, o sono uguali, o sono ugualmente inferiori ai secondi multipli presi in ordine corrispondente.
Proposizione che possiamo così tradurre: a/b = c/d   se e solo se, dati m ed n interi, se ma<nb allora mc<nd; oppure se ma=nb  allora mc=nd; oppure  se  ma>nb  allora  mc>nd.
Se leggiamo attentamente tale definizione, osserviamo che essa non è niente altro che lo sviluppo di una proporzione così come noi oggi lo facciamo:  se a:b=c:d  vuol dire che  ad=bc.
Inoltre la definizione di Eudosso non si allontana molto dalla definizione di numero reale come elemento separatore, in quanto essa separa la classe dei numeri razionali m/n in due categorie a seconda che ma³nb  oppure  ma<nb.
La “scoperta” di Eudosso è stata grandissima. Ricadeva però in quel concetto che tanto i greci volevano evitare: l’infinito.

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