Le formule come traguardo, conquista, sintesi del lavoro matematico e due formule leggendarie: la più bella della matematica e la più famosa della fisica.
Una formula è molto più di un insieme di simboli. È una sintesi, un traguardo, un’idea resa strumento. È una conquista, ed è il modo con cui la matematica esprime con rigore ciò che ha intuito, dedotto, scoperto. Ogni formula nasce da un percorso intellettuale — spesso lungo e articolato — e restituisce, in forma compatta, relazioni profonde tra grandezze, concetti, strutture.
Le formule abitano la matematica, ma si estendono ben oltre: si trovano nella fisica, nella chimica, nella biologia, nell’economia, nella musica, nell’informatica. Ovunque ci sia ordine, misura, relazione, una formula può diventare lo strumento per calcolare, descrivere, prevedere, spiegare.
Alcune formule sono semplici e immediate, altre complesse e sfidanti. Alcune si apprendono a memoria, altre si comprendono solo col tempo. Nel lavoro didattico, esse sono spesso il repertorio prezioso al quale si attinge per fare matematica, non solo per risolvere problemi e esercitarsi a ricostruire un ragionamento ma anche – come già riconosceva il giovane Giacomo Leopardi – per non annoiarsi col ripercorrere una via dimostrativa abituale, ma cercando di trovarne di nuove. Mostrare agli studenti che dietro ogni formula c’è un’idea, una storia, una pluralità di visioni, aiuta a comprendere la matematica come disciplina viva e creativa.
Tra le tante formule che popolano il sapere umano, due si distinguono come vere e proprie icone.
La prima appartiene alla matematica pura ed è spesso indicata come la più bella mai scritta. La seconda è divenuta il simbolo stesso della fisica moderna, universalmente riconosciuta anche al di fuori del mondo scientifico. Diverse per origine, struttura e significato, entrambe testimoniano in modo esemplare ciò che una formula può rappresentare: una rivelazione, un salto di pensiero, una visione del mondo.
La prima è:
\( e^{i\pi} + 1 = 0 \)
ed è la più bella: « è lei l’indiscussa Miss Universo. La formula più bella della matematica. A cominciare dalla metà del XVIII secolo ha incantato e ancora incanta. Colpisce per l’aspetto estetico, la ricchezza e varietà simbolica, la molteplicità dei significati, il legame che instaura tra reale e immaginario, razionale e irrazionale, naturale e artificiale, essere e non essere. Trasmette un non so che di magico, di mistico, di esoterico. Appare sovrumana, oggetto di un mondo sovraordinato, ancora da scoprire o da raggiungere, dove sarebbe possibile assaporare con l’essenza della matematica il senso stesso dell’esistenza umana.»
L’ altra è:
\( E = mc^2 \)
ed è la formula più famosa del mondo. È la formula che porta il nome di Albert Einstein. Tutti l’hanno vista, pochi però la comprendono davvero. Se la prima, infatti, parla alle menti dei matematici il linguaggio esoterico di un legame tra entità numeriche speciali, questa esprime trasformazioni che coinvolgono oggetti reali, corpi dotati di massa e velocità. Va compresa nei suoi aspetti di realtà.
Il significato dei simboli
- m è la massa che, a seguito di certe trasformazioni (come la fissione nucleare), scompare, ovvero si trasforma in energia;
- c è la velocità della luce nel vuoto, circa \( 3 \cdot 10^8 \) m/s;
- E è l’energia liberata dalla trasformazione della massa.
Un esempio pratico
Se riuscissimo a trasformare 1 grammo di materia interamente in energia, otterremmo:
\( m = 1\ \text{g} = 10^{-3}\ \text{kg} \)
\( c^2 = (3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16} \)m2/s2
\( E = mc^2 = 10^{-3} \cdot 9 \cdot 10^{16} = 9 \cdot 10^{13}\ \text{J} \)
Convertiamo in chilowattora:
\( 1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J} \Rightarrow E \approx \frac{9 \cdot 10^{13}}{3{,}6 \cdot 10^6} \approx 2{,}5 \cdot 10^7\ \text{kWh} \)
Un’enormità. Per ottenere la stessa energia con combustibile fossile, servirebbero circa 1.000 tonnellate di petrolio! È per questo che la fissione nucleare è così potente: pochissima massa, moltissima energia.
Questo esempio rende tangibile la profondità della formula nell’equivalenza tra massa ed energia ed è tratto, con lievi modifiche, da: La probabilità fa al caso nostro, il bel libro che Carlo Bernardini (1930-2018) scrisse insieme alla moglie, Silvia Tamburini, docente di Fisica nella scuole secondarie di secondo grado, e pubblicò nel marzo del 2014. L’esempio si trova sviluppato, emblematicamente, nel Glossario, alla voce “formula“.
Misticismo e semplicità. Due formule, due visioni del mondo
Al misticismo della formula di Eulero, quella di Einstein corrisponde con una semplicità sconvolgente. Una semplicità che colpisce e che sorprese lo stesso Einstein che in una conferenza del 1946 disse:
«È la semplicità, la semplicità estrema, che rende la teoria così attraente. Se non fosse così semplice, non potrei credere che la natura avrebbe scelto una via così semplice.»
Una riflessione che tocca in profondità anche l’esperienza didattica: le idee più potenti sono spesso anche le più semplici, e proprio per questo hanno la capacità di sorprendere, affascinare, radicarsi nella memoria. Aiutare gli studenti a riconoscere la forza che si cela dietro la semplicità è uno degli obiettivi più alti dell’insegnamento della matematica.
COMMENTS