Dalla retta reale al piano complesso fino al frattale di Mandelbrot. La bellezza svelata dalla ricorsione di z2.
Dopo aver osservato che cosa accade iterando in \(\mathbb{R}\) funzioni come il seno e il coseno, vale la pena prendere in considerazione funzioni ancora più elementari, come x2 o, nel caso ci si dovesse limitare a valori non negativi, la sua inversa √x .
Sulla calcolatrice, premere più volte lo stesso tasto equivale a rimettere ogni volta in ingresso il risultato appena ottenuto. È proprio questa immediatezza operativa a rendere l’attività semplice e istruttiva: con pochissime iterazioni emergono subito stabilità, e bacini di attrazione.
La classe può facilmente giungere a distinguere e a classificare (operazioni che i docenti sanno bene quanto siano importanti).
Il caso \(x_0 = 1\)
Se l’ingresso iniziale è \(x_0 = 1\), entrambe le funzioni restituiscono sempre lo stesso valore:
\[
\sqrt{1} = 1, \qquad 1^2 = 1.
\]
L’orbita è costante: il valore resta fermo fin dall’inizio. È il caso più semplice, ma anche il più utile come riferimento, perché mostra che \(1\) è un punto fisso comune.
Il caso \(0 < x_0 < 1\)
Qui il comportamento delle funzioni si separa nettamente. Con la radice quadrata, l’orbita cresce:
\[
x_0 \;\to\; \sqrt{x_0} \;\to\; \sqrt{\sqrt{x_0}} \;\to\; \dots
\]
I valori aumentano lentamente e si avvicinano progressivamente a \(1\). Con il quadrato, accade l’opposto:
\[
x_0 \;\to\; x_0^2 \;\to\; (x_0^2)^2 \;\to\; \dots
\]
I valori diminuiscono rapidamente e si avvicinano allo zero.
Il caso \(x_0 > 1\)
Anche qui la distinzione è immediata. Con la radice quadrata, l’orbita decresce:
\[
x_0 \;\to\; \sqrt{x_0} \;\to\; \sqrt{\sqrt{x_0}} \;\to\; \dots
\]
I valori diminuiscono lentamente e convergono ancora verso \(1\). Con il quadrato, invece, la crescita è rapida:
\[
x_0 \;\to\; x_0^2 \;\to\; (x_0^2)^2 \;\to\; \dots
\]
L’orbita diverge senza limite: l’“infinito” non è un simbolo astratto, ma il destino concreto del processo ricorsivo.
In tutti questi casi, il processo messo in atto consiste in uno spostamento lungo la retta reale: verso lo zero, verso \(+\infty\), oppure in una posizione stabile (come accade per \(x = 1\)). Ogni orbita è una successione ordinata di numeri reali.
È a questo punto che, per studenti che stanno affrontando lo studio dei numeri complessi, può avvenire un vero salto di comprensione operativa, non cambiando la funzione ma ampliandone il dominio: passare da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{C}\).
Questo significa uscire dalla retta e muoversi nel piano, ma significa anche cambiare il tipo di rappresentazione: la macchina calcolatrice, pensata per produrre successioni di numeri reali, non basta più a rappresentare ciò che accade.
Diventano allora più adatti strumenti capaci di mostrare traiettorie nel piano complesso — ambienti di geometria dinamica o di calcolo simbolico — che permettono di vedere l’evoluzione del processo, non solo di calcolarne i valori. Al di là dello strumento, si tratta soprattutto di fissare le idee in una forma geometrica adeguata. Consideriamo allora la stessa funzione di prima,
\[
z_{n+1} = z_n^2,
\]
ma ora con \(z_0 \in \mathbb{C}\). L’iterazione non produce più soltanto una successione di valori, ma una traiettoria nel piano complesso: ogni passo è un punto, e l’insieme dei punti descrive un cammino geometrico. La classificazione operata per \(x \in \mathbb{R}\) continua a valere, ma con significati diversi. Per i numeri complessi non conta più l’ordine, ma il modulo.
Esistono infiniti numeri complessi con \(|z| < 1\), \(|z| = 1\) e \(|z| > 1\). In particolare, tutti i complessi tali che \(|z| = 1\) giacciono sulla circonferenza unitaria \(K\), di centro l’origine e raggio \(1\).
Moltiplicando due numeri di modulo \(1\) si ottiene ancora un numero di modulo \(1\): questi complessi formano un gruppo moltiplicativo, e la circonferenza unitaria costituisce la frontiera tra il disco interno (\(|z| < 1\)) e l’esterno (\(|z| > 1\)).
- se \(|z_0| < 1\), i moduli dei punti successivi tendono a zero: l’orbita si avvicina all’origine, mentre la direzione può cambiare a ogni iterazione;
- se \(|z_0| > 1\), l’attrattore è l’infinito: i moduli crescono rapidamente e le traiettorie si allontanano senza limite;
- se \(|z_0| = 1\), accade qualcosa di qualitativamente diverso: le orbite restano confinate sulla circonferenza unitaria.
Qui si manifesta il cuore matematico del processo. Se infatti
\[
z_0 = e^{i\theta},
\]
allora
\[
z_n = e^{\,i\,2^n\theta}.
\]
Il modulo resta sempre uguale a \(1\), mentre l’argomento raddoppia a ogni iterazione. In ogni caso la dinamica del processo non si legge più su una retta, ma nello spazio bidimensionale delle traiettorie.
Viene così alla luce un motivo molto concreto per cui questa attività didattica si rivela preziosa: rafforza la confidenza operativa con i numeri complessi. Iterare il quadrato significa osservare che cosa accade a un complesso quando viene moltiplicato per sé stesso, e poi moltiplicato ancora: non “quanto cresce”, ma dove si sposta nel piano. Così emerge in modo naturale la struttura di campo non ordinato dei complessi, insieme al legame profondo tra simboli, forma geometrica e strumenti di rappresentazione.
In modo più esplicito, scrivendo \(z = a + bi\), si ha:
\[
(a+bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2ab\,i
\]
che mostra subito come parte reale e parte immaginaria si mescolino.
In forma esponenziale, se \(z = r e^{i\theta}\),
\[
z^2 = r^2 e^{i\,2\theta}.
\]
Nel caso generale, il modulo viene elevato al quadrato e l’argomento raddoppia: se il modulo è minore di \(1\) il punto si avvicina rapidamente all’origine, se è maggiore di \(1\) si allontana verso l’esterno, mentre in entrambi i casi ruota nel piano. È questa doppia azione — variazione radiale e rotazione angolare — che governa tutta la dinamica.
A questo punto la prospettiva può cambiare ancora. Finora abbiamo seguito una singola orbita alla volta. Ma che cosa accade se, con l’aiuto della tecnologia, consideriamo in un solo colpo d’occhio tutti i punti iniziali del piano complesso, cioè la totalità delle orbite?
È questa domanda — resa concreta dalla computer graphics — a condurre naturalmente al frattale di Mandelbrot, ottenuto a partire dall’iterazione
\[
z_{n+1} = z_n^2 + c,
\]
con \(z_0 = 0\) e con \(c\) variabile nel piano complesso.
Il frattale di Mandelbrot nasce così da una regola elementare, che gli strumenti di visualizzazione rendono accessibile come una figura geometrica di straordinaria ricchezza.
Ma perché l’aggiunta di quel parametro \(+c\)? In effetti, nel caso di \(z^2\) la dinamica è separata da una frontiera precisa: la circonferenza unitaria è il confine tra l’interno e l’esterno.
L’aggiunta del termine \(+c\) modifica radicalmente la situazione: non esiste più un interno e un esterno globali, validi una volta per tutte. La distinzione tra stabilità e fuga non è data a priori, ma emerge punto per punto dal processo iterativo stesso.
Il frattale non nasce perché “complichiamo la formula”, ma perché rendiamo locale e dinamica una distinzione che prima era globale.
Comunque, alla fine dell’intero percorso, a sorprendere è proprio questo: come una formula semplice, trattata ricorsivamente, generi una forma di così enigmatica bellezza. I simboli si trasformano in immagini e la ricorsione diventa forma.
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