Funzioni e orbite

Il seno conduce allo zero, il coseno al numero di Dottie: numeri, grafici e ragnatele per imparare a guardare un processo matematico.

Possiamo farlo con la funzione \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\operatorname{sen} x\)

Concretamente, questo significa premere il tasto sen di una calcolatrice una volta dopo l’altra, rimettendo ogni volta in ingresso il valore appena ottenuto (assumendo, ovviamente, che gli angoli siano espressi in radianti).

\[
x_{n+1}=\operatorname{sen}(x_n)
\]

Il valore che esce al passo \(n\) diventa il valore che entra al passo \(n+1\). L’oggetto matematico non è più il singolo valore, ma la sequenza

\[
x_0,\
x_1=\operatorname{sen} x_0,\
x_2=\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x_0),\
x_3=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x_0)),\dots
\]

cioè l’orbita descritta da \(x_0\).

Un esempio concreto: \(x_0=123\)

Facciamo partire la macchina:

\[
x_1=\operatorname{sen}(123)\approx -0{,}4599
\]

Dopo un solo passaggio il valore è entrato in \([-1,1]\).
Proseguendo,

\[
-0{,}4599 \;\to\; -0{,}4431 \;\to\; -0{,}4288 \;\to\; -0{,}4158 \;\to\; -0{,}4040 \;\to\; \dots
\]

l’orbita resta nell’intervallo \([-1,1]\) e i valori prodotti dalla macchina risultano, passo dopo passo, sempre più prossimi allo zero. Questo è il primo risultato fondamentale della macchina seno: qualunque sia \(x_0\),
\[
\operatorname{sen}(x_0)\in[-1,1],
\] e quindi, per ogni \(n\ge 1\),
\[
x_n\in[-1,1].
\] La dinamica viene compressa in una regione piccola e non ne esce più.

Dove va l’orbita?

Se una dinamica si stabilizza, spesso lo fa verso un punto fisso, cioè un valore che, rimesso in macchina, torna uguale:

\[
x=\operatorname{sen} x
\]

L’unica soluzione reale è \(x_0=0\), e infatti \(sen0=0\).

È corretto dire che tutte le orbite convergono a zero. Il caso \(x_0=0\) genera un’orbita costante; per ogni altro valore iniziale,
\[
x_n \longrightarrow 0,
\] non di colpo, ma lentamente. La lentezza è legata al fatto che il punto fisso è non iperbolico: qui \(f'(0)=\cos 0=1\). Nel caso del seno, seguire i valori numerici è già sufficiente a cogliere il comportamento della macchina.

Cambiare macchina: che cosa accade con \(x_{n+1}=\cos x_n\)?

Cambiamo ora funzione, mantenendo identica l’idea di iterazione:

\[
x_{n+1}=\cos(x_n)
\]

Prendiamo ad esempio \[x_0=7. \]

Iterando otteniamo:

\[
7 \;\to\; 0{,}7539 \;\to\; 0{,}7290 \;\to\; 0{,}7458 \;\to\; 0{,}7345 \;\to\; \dots
\]

L’orbita oscilla, ma le oscillazioni si riducono rapidamente.
Il valore verso cui converge è:

\[
x^*\approx 0{,}739085\ldots
\]

ed è l’unico reale che soddisfa
\[
x=\cos x.
\]

Samuel R. Kaplan, in un articolo del 2007, lo chiamò numero di Dottie, dal nome della professoressa che osservò come, partendo da qualunque valore e premendo ripetutamente il tasto coseno sulla calcolatrice, il risultato convergesse sempre a questo stesso numero.

Questo numero é noto anche come costante del coseno o costante del coseno iterato, ed è un esempio semplice ma non banale di punto fisso attrattivo universale; si dimostra inoltre che è un numero trascendente.

Il diagramma a ragnatela

Nel caso del coseno, il comportamento dell’orbita risulta particolarmente chiaro se osservato con un diagramma a ragnatela (cobweb): la curva \(y=\cos x\) e la bisettrice \(y=x\) si intersecano in un punto non banale, e l’iterazione costruisce una ragnatela che oscilla e si stringe rapidamente verso il numero di Dottie.

Qui il disegno non è ornamentale: rende visibile ciò che i numeri suggeriscono, mostrando come l’uscita della funzione venga riutilizzata come nuovo ingresso fino alla stabilizzazione.

Un cenno finale: \(x_{n+1}=\tan x_n\)

Se consideriamo infine la macchina
\[
x_{n+1}=\tan(x_n),
\] il quadro cambia radicalmente.
La tangente non è definita su tutto \(\mathbb{R}\), presenta singolarità verticali e non comprime gli ingressi: al contrario, tende ad amplificarli.
L’unico punto fisso reale è \(x=0\), ma non è un attrattore; in generale l’orbita può essere spinta verso una singolarità.

Osservazione finale sulle notazioni

Rimettendo in macchina una funzione \(f\), si ottengono ricorsivamente i valori
\[
f(x),\quad f(f(x)),\quad f(f(f(x))),\ \dots
\] cioè ciò che in modo compatto, nel linguaggio delle funzioni, si indica con
\[
f,\ f^2,\ f^3,\ \dots
\] intendendo con \(f^n\) l’\(n\)-esima iterata della funzione \(f\).

Questa notazione, però, diventa ambigua quando la funzione è una funzione elementare come \(\operatorname{sen} \), \(\cos\) o \(\ln\). Nel linguaggio usuale, infatti,
\[
\operatorname{sen} ^2 x
\] significa \((\operatorname{sen} x)^2\), e non \(\operatorname{sen} (\operatorname{sen} x)\); lo stesso vale per \(\cos^2 x\), \(\ln^2 x\), e casi analoghi.

Per evitare questo abuso di notazione — comune nella pratica matematica, ma didatticamente da precisare — in questo articolo si è scelto di scrivere sempre le iterate in modo esplicito, ad esempio
\[
\operatorname{sen} (\operatorname{sen} x),\quad \operatorname{sen} (\operatorname{sen} (\operatorname{sen} x)),
\] distinguendo con chiarezza tra l’iterazione di una funzione e la potenza di un valore.

Conclusione

Rimettere in macchina il risultato significa smettere di guardare il singolo valore e iniziare a osservare un processo. Con il seno l’orbita si spegne lentamente verso zero; con il coseno si stabilizza rapidamente su un valore non banale. La ricorsione non è un artificio tecnico, ma uno strumento concettuale: insegna anche a guardare una macchina nel tempo.