Esistenza e consistenza

Perché non tutti gli insiemi esistono. L’esistenza matematica tra consistenza, costruzione e computabilità

Dopo aver affrontato il tema della cardinalità e il ruolo degli assiomi di Peano nella definizione dei numeri naturali, diventa inevitabile porsi una questione più generale: che cosa significa, in matematica, dire che un oggetto “esiste” e che una teoria è consistente.

Converrà allora ricordare che nel corso del XIX secolo la grande aspirazione della matematica è stata quella di presentarsi come una costruzione solida, quasi inevitabile, espressione del più autentico rigore logico. Ma proprio alla fine dell’Ottocento, nel momento del massimo ottimismo, questa tendenza iniziò a vacillare.

Negli anni a cavallo tra la fine del secolo e l’inizio del Novecento, con i lavori di Georg Cantor sull’infinito, emersero le profonde difficoltà legate all’idea di trattare certe “totalità” come insiemi. L’insieme di tutti gli ordinali e quello di tutti i cardinali sembravano concetti naturali, ma portarono rapidamente a contraddizioni. Nel primo caso — noto come paradosso di Burali-Forti — e nel secondo — il paradosso di Cantor — l’assunzione iniziale conduce a un esito assurdo: se tali totalità fossero insiemi, allora si potrebbe costruire un elemento “più grande di tutti”. Ma questo elemento, essendo a sua volta un ordinale o un cardinale, dovrebbe appartenere alla totalità stessa. Si ottiene così una situazione impossibile: una totalità che, appena la si tratta come insieme, genera qualcosa che non può starci dentro.

Non si trattava di sottigliezze marginali. Erano crepe nel cuore stesso della teoria degli insiemi. D'altronde anche un maestro dell'infinito quale Richard Dedekind (ne parla Bourbaki negli Éléments d’histoire des mathématiques) non resistette all'idea di poter considerare totalità come il “mondo dei pensieri” umani (Gedankenwelt) come un insieme. Un'idea comunque che, in una prospettiva diversa, riemergerà molto più tardi nel progetto di Ennio De Giorgi, fondato sull’idea di una totalità delle cose pensabili posta alla base della sua Teoria 95.

Proprio Dedekind, però, consapevole dei paradossi che continuavano ad emergere, arrivò a chiedersi se il pensiero umano fosse davvero completamente razionale. Non era una provocazione filosofica: era un dubbio matematico.

Il colpo più destabilizzante arrivò poco dopo, tra il 1901 e il 1902, con quello che oggi chiamiamo il paradosso di Russell, o di Zermelo–Russell. A differenza dei paradossi legati all’infinito, qui non era necessario ricorrere a costruzioni sofisticate: bastava una proprietà logica elementare.

Per comprenderne la portata, occorre ricordare un principio che molti matematici accettavano senza riserve. Se una proprietà è ben definita, allora esiste l’insieme di tutti gli oggetti che la soddisfano. In simboli: data una proprietà p, esiste l’insieme {x : p(x)}. Questo è il cosiddetto principio di comprensione, pilastro di quella che oggi chiamiamo teoria ingenua degli insiemi. “Ingenua” solo col senno di poi: all’epoca appariva come una legge logica fondamentale, tanto che la teoria degli insiemi veniva spesso considerata una parte della logica stessa.

Vale la pena notare, tuttavia, che l’identificazione tra definibilità ed esistenza non è sempre stata ovvia nella storia della matematica. Per i geometri, da Euclide in poi, esistere significava essere costruibile: un oggetto geometrico era legittimo nella misura in cui poteva essere ottenuto mediante una costruzione con riga e compasso. Non tutto ciò che era concepibile o descrivibile aveva diritto di cittadinanza; l’esistenza era subordinata a una pratica, a una procedura. In questo senso, la geometria classica conosceva già una forma rigorosa di selezione degli oggetti ammessi, ben prima che la teoria degli insiemi fosse costretta a confrontarsi con i propri paradossi.

Ma proprio questo salto — dall’esistenza vincolata a una pratica, alla definibilità assunta come criterio sufficiente — mostrò presto la propria fragilità. Il paradosso di Russell ne mise in luce le conseguenze più radicali, colpendo non casi limite o strutture eccezionali, ma il cuore stesso del principio di comprensione.

La portata di questo risultato va ben oltre il singolo paradosso. Come osserva Kurt Gödel, in un saggio su Russell citato da Hao Wang, «l’analisi di Russell liberò i paradossi della teoria degli insiemi di Cantor da ogni tecnicismo matematico, mettendo così in luce il fatto sorprendente che le nostre intuizioni logiche — cioè le intuizioni riguardanti nozioni come verità, concetto, ente, classe — sono autocontraddittorie». È un’affermazione che tocca questioni che trascendono i limiti di questo articolo, ma chiarisce con precisione il senso della crisi: non è la matematica a venir meno, bensì l’idea che la logica ordinaria possa fungere da fondamento indiscusso.

È in questo contesto che il paradosso di Russell assume la sua forma più semplice e, al tempo stesso, più radicale. Consideriamo la proprietà apparentemente più innocua possibile: “x non appartiene a se stesso”, cioè x ∉ x. Applicando il principio di comprensione, otteniamo l’insieme R = {x : x ∉ x}.

A questo punto la domanda è inevitabile: R appartiene a se stesso oppure no? Se R ∈ R, allora per definizione R ∉ R. Se R ∉ R, allora per definizione R ∈ R. In entrambi i casi si cade in una contraddizione.

Non è un gioco di parole: è una frattura strutturale. Una proprietà costruita con negazione e appartenenza — concetti ritenuti puramente logici — conduce a un risultato impossibile. Il problema non è quale insieme si considera, ma come si passa da una proprietà alla sua totalità.

Per i logicisti fu uno shock. David Hilbert, come già Frege prima di lui, dovette abbandonare l’idea che la matematica potesse essere fondata interamente sulla logica. Arrivò persino a chiedersi se Kronecker, con il suo rigore costruttivo, non avesse avuto ragione fin dall’inizio. La risposta, tuttavia, non fu un arretramento, bensì una riformulazione radicale.

La teoria degli insiemi doveva diventare una teoria assiomatica autonoma, fondata su assiomi matematici — e non su principi puramente logici — e la questione dell’esistenza doveva essere reinterpretata. In questa prospettiva, dire che un oggetto matematico “esiste” smette di essere una tesi metafisica e diventa una tesi di legittimità formale: un oggetto è ammesso nella misura in cui la teoria che lo introduce è consistente, cioè non produce contraddizioni. È in questo senso che l’esistenza matematica, per Hilbert, viene ricondotta alla consistenza.

Ma il Novecento mostrerà che neppure la consistenza esaurisce la questione. Con i lavori di Alonzo Church, Alan Turing e Stephen Kleene, l’attenzione si sposta ancora: in molti contesti matematici, esistere finisce per significare essere effettivamente calcolabile, o definibile tramite una procedura ricorsiva. La possibilità formale non coincide con l’effettiva costruzione.

Non tutto ciò che è coerente è computabile; non tutto ciò che è definibile è effettivamente costruibile. Ciò che emerge da questo percorso non è l’adozione di un unico nuovo criterio, ma la presenza di una pluralità di piani. In contesti diversi, l’esistenza matematica viene vincolata alla possibilità di una costruzione, alla consistenza di una teoria o all’effettiva computabilità di un oggetto. Questi criteri non si riducono l’uno all’altro e non rispondono alla stessa esigenza: delimitano, piuttosto, ambiti diversi di legittimità matematica.

L’esistenza matematica non è un dato, ma un atto concettuale rimesso alla responsabilità teorica.