Fare matematica lavorando in classe con gli studenti per scoprire proprietà e curiosità di numeri primi.
Nel 1994 il matematico inglese Andrew John Wiles (nato nel 1953) dimostrò il celebre ultimo teorema di Fermat:
«Non esiste una terna di numeri interi (x,y,z), che risolva l’equazione xn+yn = zn , con n>2».
Prima di lui molti matematici, anche illustri, si erano cimentati nella dimostrazione, ma non erano riusciti a fornire che delle dimostrazioni parziali.
Uno di questi matematici fu la francese Marie Sophie Germain (1776-1831), la quale, nel tentativo di dimostrare il teorema, finì per occuparsi dei numeri primi aventi la forma 2p+1, dove p è a sua volta un numero primo.
Legittimamente, perciò, ogni numero primo p tale che anche 2p+1 sia un numero primo, è denominato numero primo di Germain.
Questi numeri hanno diverse proprietà. E la ricerca di alcune di esse può ben costituire un ambito per un’interessante attività didattica, naturalmente promossa e coordinata dal docente di matematica.
Ecco allora alcuni spunti per una tale azione.
Intanto, come prima mossa, si può chiedere di trovare alcuni numeri di Germain. Detto per inciso, si congettura che il loro numero sia infinito.
In questa azione, si può costatare che nessuno dei numeri trovati termina per 7. È un caso o si tratta di una proprietà generale? Se è una proprietà generale, se ne può dare la dimostrazione?
Insomma, è possibile dimostrare che ogni numero primo che termina per 7 (ovviamente nel consueto sistema di numerazione posizionale decimale) non è un numero primo di Germain?
Altro stimolo.
Con qualche aiuto, si può far notare che ogni numero di Germain maggiore di 3, si può mettere nella forma seguente: 5+6k, dove k è un numero intero.
Per esempio, soffermandoci sui primi 4 numeri di Germain maggiori di 3:
5=5+6∙0, 11=5+6∙1, 23=5+6∙3, 29=5+6∙4.
Se ne può proporre la dimostrazione, ma in due fasi:
nella prima si chiede di provare che se p è un numero primo maggiore di 3, allora si può mettere in una, ed una solamente, delle due forme seguenti: p=1+6k oppure p=5+6k, dove k è un numero intero;
nella seconda fase si chiede di dimostrare che se p, oltre ad essere maggiore di 3, è un numero di Germain, allora può mettersi solamente nella forma: p=5+6k
Ancora un’attività è possibile.
È probabile che gli studenti abbiano sentito parlare di numeri primi gemelli. Se così non fosse, è il caso di provvedere. Com’è noto si tratta di due numeri primi a, b tali che b=a+2.
Si può proporre di cercare coppie di numeri primi gemelli che siano anche numeri di Germain.
Così, si può riflettere sulle prime coppie di numeri primi gemelli:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31).
Si costata che, oltre alla coppia (3,5), che è una coppia di numeri di Germain, non si riescono a trovare altre coppie del genere.
È forse una nuova proprietà? Se ne può dare una dimostrazione?
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