Un quesito del 2013 riapre la riflessione sull’insegnamento dei numeri reali: esperienza, intuizione e rigore tra de Finetti e Bourbaki.
Questa nota nasce come commento all’articolo “I numeri reali li insegniamo a rate”, che propone, attraverso la lettura di un brano di Bruno de Finetti, una riflessione sui Programmi di Frascati del 1967, mettendone in evidenza «la serietà, la competenza e lo spirito di servizio con cui le questioni venivano affrontate e discusse».
\(\)Non può sfuggire, d’altro canto, l’importanza e l’attualità dell’argomento in discussione: l’introduzione dell’insieme dei numeri reali nei percorsi liceali.
All’insegnamento «a rate», come lo definisce de Finetti, che prevede prima lo studio dei soli numeri razionali e introduce in seguito i numeri irrazionali e l’intero campo reale, viene contrapposto un itinerario didattico più vicino al “modo in cui quel concetto si forma nella mente degli studenti”: de Finetti propone di riesaminare le operazioni sui numeri interi e razionali, considerando i rispettivi insiemi come sottoinsiemi di un campo reale «già intuitivamente noto», per arrivare infine a un assetto formale e rigoroso.
«Benché, da un punto di vista astrattamente formalistico, una nozione matematica si possa (o debba) considerare pienamente acquisita conoscendone le proprietà deducibili dalla definizione o dagli assiomi, ritengo non meno essenziale (e dal punto di vista psicologico culturale e pratico ancor più), agli effetti di una vera conoscenza e comprensione, il saper associare alla nozione formale una visione quanto più ampia possibile delle sue interpretazioni e applicazioni (e del perché della sua applicabilità) nei più disparati campi della scienza, della tecnica, della vita quotidiana».
Queste osservazioni rimandano al testo di un quesito assegnato all’esame di Stato del 2013 ( Scuole italiane all’estero - Europa):
Quesito 2 :«In un libro si legge: “Ogni misura di grandezza implica una nozione approssimativa di numero reale”. Si chiede di spiegare, eventualmente con qualche esempio, il significato di tale frase».
La frase è tratta dagli Elementi di storia della matematica di Bourbaki, ma il quesito non ne indica la provenienza. La formula «In un libro si legge…», presente anche in analoghi quesiti di quegli anni, invita lo studente a elaborare un’interpretazione personale alla luce del proprio bagaglio culturale.
Un bel quesito che mette in luce una sintonia, forse inaspettata, tra l’analisi storica di Bourbaki e l’indicazione didattica di Bruno de Finetti.
Le civiltà antiche, come i Babilonesi e gli Egizi, misurando lunghezze, pesi e superfici, affrontavano problemi che oggi interpretiamo attraverso i numeri reali. L’esperienza della misura può dunque offrire un punto di partenza intuitivo per introdurne il concetto.
Nella didattica della matematica è opportuno superare un approccio che presenta i numeri reali “dall’alto”, riducendo l’introduzione degli irrazionali ai decimali illimitati non periodici, e radicare il concetto nella storia e nell’esperienza concreta.
La nota dimostrazione algebrica per assurdo stabilisce che non esiste un numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2. Per concludere che \(\sqrt{2}\) è un numero irrazionale, occorre però averne giustificato l’esistenza in un insieme numerico più ampio.
Prima di poter parlare di «completezza» dell’insieme \(\mathbb{R}\), non resta che appellarsi a un concetto intuitivo di incommensurabilità o, come osserva Bourbaki, accettare un punto di vista pragmatista.
Ai docenti viene offerta l’occasione di riflettere su un nodo didattico che emerge soprattutto nel passaggio tra la scuola secondaria di primo e quella di secondo grado e che il dibattito sulle nuove Indicazioni nazionali rende particolarmente attuale.
La lettura delle Indicazioni, e la loro traduzione in scelte didattiche, possono essere arricchite da un confronto epistemologico e pedagogico più ampio.
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