La didattica della matematica si prende gioco della storia e si diverte a invertire finanche la freccia del tempo. Reversibilità e invarianza, categorie del fare matematica.
La freccia del tempo si può invertire? In fisica è una domanda che conduce molto lontano, fino ai problemi dell’irreversibilità e dell’entropia. In matematica, invece, il discorso cambia. La matematica ama la reversibilità almeno quanto ama l’invarianza: cercare ciò che non cambia e provare a percorrere un ragionamento nei due sensi sono due movimenti profondi del pensiero matematico e, insieme, due straordinari strumenti della didattica.
Si potrebbe allora, prendendo a prestito da Kant il termine categoria, dire che reversibilità e invarianza sono due categorie del fare matematica e del suo insegnamento. Altrove le abbiamo chiamate stelle polari della didattica.
Di recente, un amico che stimo molto — uno dei più fini geometri che ho avuto la fortuna di conoscere — ha riletto un articolo pubblicato tempo fa su queste pagine di Matmedia (Da De Moivre a Eulero e viceversa) e ne ha lodato «il valore» didattico. Quel valore, ha osservato, risiede soprattutto nel percorso: nella sua reversibilità, nella possibilità di collegare territori che la sistemazione scolastica tende spesso a separare.
\(\)Vale allora la pena tornare su quel percorso, partendo dalla conclusione. Partiamo da Eulero. Il punto d’arrivo come nuovo inizio.
Nella narrazione didattica più consueta il cammino sembra avere una direzione naturale: dalla trigonometria ai numeri complessi, dalla formula di De Moivre fino alla celebre relazione di Eulero
$$
e^{ix}=\cos x+i\sin x.
$$
È la storia a suggerire questa direzione. Abraham de Moivre precede Leonhard Euler e il suo nome rimane legato alla formula
$$
(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).
$$
Eulero arriverà dopo. Ma l’ordine storico della scoperta non deve necessariamente coincidere con l’ordine del ragionamento e dell’insegnamento.
Proviamo, infatti, a fare il contrario. Assumiamo la formula di Eulero non come punto d’arrivo, ma come punto di partenza:
$$
e^{ix}=\cos x+i\sin x.
$$
Elevando entrambi i membri alla potenza \(n\)-esima, con \(n\in\mathbb{Z}\), otteniamo
$$
(e^{ix})^n=(\cos x+i\sin x)^n.
$$
Per le proprietà dell’esponenziale,
$$
(e^{ix})^n=e^{inx}.
$$
E, applicando la formula di Eulero all’angolo \(nx\),
$$
e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx).
$$
Pertanto,
$$
(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).
$$
Siamo tornati a De Moivre.
Eulero, che sembrava il punto d’arrivo, è diventato il punto di partenza; De Moivre, che sembrava la premessa, è diventato la conseguenza. Naturalmente non abbiamo modificato la storia. De Moivre continua a venire prima di Eulero e nessun ragionamento può cambiare l’ordine degli avvenimenti.
Abbiamo però constatato qualcosa di interessante: il tempo della storia non è necessariamente il tempo della matematica. L’ordine storico della scoperta non impone l’ordine logico dell’esposizione né quello didattico dell’apprendimento. Ciò che storicamente viene dopo può diventare il punto dal quale partire per comprendere ciò che è venuto prima.
Si potrebbe perfino dire, paradossalmente, che sotto questo aspetto la matematica è «senza storia»: non perché non possieda una storia, ma perché la sua organizzazione logica non rimane prigioniera della successione temporale che l’ha prodotta.
Ne è quasi una conferma la tradizionale opposizione didattica tra metodo storico o storico-genetico e metodo psicogenetico. Il primo tende a ripercorrere la genesi storica dei concetti; il secondo non è vincolato a quell’ordine, ma assume come punto di partenza ciò che risulta più naturale nella costruzione cognitiva dell’allievo. Può così accadere che il percorso storico venga ricostruito anche in senso inverso. È forse la forma più radicale della reversibilità applicata al discorso didattico: anche la freccia della storia può essere percorsa in senso contrario.
Ed è qui che ritroviamo la reversibilità. L’«andare e venire» tra De Moivre ed Eulero non è un semplice gioco di prestigio algebrico. Da una parte abbiamo l’algebra degli esponenziali complessi; dall’altra la trigonometria e la geometria delle rotazioni nel piano complesso. Sono linguaggi diversi che descrivono la stessa struttura.
Ma questo movimento di esplorazione bidirezionale non riguarda soltanto la matematica superiore: attraversa l’insegnamento a tutti i livelli.
Lo si incontra già nell’aritmetica di base, quando le operazioni inverse — come addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione — smettono di essere viste come semplici strumenti di «verifica» del calcolo e diventano modi diversi di leggere la stessa relazione tra numeri. Lo si ritrova nella geometria sintetica, quando una proprietà dimostrata come teorema viene interrogata nella direzione opposta, chiedendosi se possa caratterizzare la figura dalla quale eravamo partiti. Ne abbiamo parlato ampiamente negli articoli dedicati al prima e il dopo e alla costruzione di limitate catene deduttive nell’insegnamento.
La matematica può essere presentata come una successione di risultati disposti lungo una linea. Ma è anche una rete di relazioni, percorribile in direzioni diverse: possiamo partire da un nodo, raggiungerne un altro e, quando le relazioni lo consentono, tornare indietro. Torniamo così alle due parole dalle quali siamo partiti.
- Invarianza: che cosa rimane mentre qualcosa cambia?
- Reversibilità: posso tornare indietro?
Quest’ultima domanda trova una risposta particolarmente significativa in una delle strutture fondamentali della matematica: il gruppo. L’esistenza, per ogni elemento, del suo inverso garantisce la possibilità di tornare, attraverso l’operazione, al punto di partenza. L’inverso è, in qualche modo, la forma algebrica del ritorno.
Sono domande elementari soltanto in apparenza. Attraversano gran parte della matematica. Quando trasformiamo una figura e cerchiamo ciò che rimane invariato; quando invertiamo una funzione; quando percorriamo una catena di equivalenze nei due sensi; quando cambiamo rappresentazione senza cambiare l’oggetto matematico, stiamo esercitando, in forme diverse, questi due modi del pensiero.
Naturalmente reversibilità non significa che ogni implicazione possa essere rovesciata; significa piuttosto imparare a interrogare un percorso anche dalla parte opposta. Gli esempi potrebbero moltiplicarsi, ma non è necessario. Ciò che conta è il movimento del pensiero: una proprietà algebrica può acquistare significato geometrico, una conclusione può suggerire nuove premesse, un punto d’arrivo può diventare un nuovo punto di partenza. La didattica può farne un metodo.
Davanti a un risultato, invece di domandare soltanto «come si dimostra?», che equivale a chiedersi «da dove viene?», possiamo interrogarci: «dove può portarci, se lo assumiamo come punto di partenza?»
Insegnare questa mobilità significa educare alla flessibilità del pensiero. Non basta saper percorrere una strada. Bisogna imparare anche a percorrerla al contrario.
Spingiamo allora il gioco un poco oltre. Immaginiamo, per assurdo, che esista un ultimo teorema della matematica, questione che abbiamo già toccato in un precedente articolo. Un’ipotesi che, dopo Gödel, appare ancora più paradossale: l’ultimo risultato, il punto oltre il quale non resta più nulla. Ma sarebbe davvero l’ultimo?
Se fosse il punto d’arrivo di un percorso matematico, potremmo provare ad assumerlo come punto di partenza. Ciò che era ultimo diventerebbe primo.
Non nel senso che ogni implicazione possa essere rovesciata, naturalmente, ma nel senso che abbiamo seguito fin qui: un risultato può diventare principio generatore di un nuovo percorso. Ma esiste, in matematica, un vero punto d’arrivo?
Ogni teorema risponde a una domanda e proprio per questo può generarne altre. Ogni dimostrazione chiude un percorso e ne rende possibili altri. La lezione, allora, può essere quella di non insegnare soltanto a procedere dal primo passo all’ultimo, unidirezionalmente, ma di abituare a fermarsi sull’ultimo e domandare: e se partissimo da qui?
Persino l’impossibile ultimo teorema potrebbe allora diventare il primo. E l’ultimo perché, ancora una volta, una nuova domanda.
COMMENTS