I programmi del 1905

I programmi di matematica della scuola elementare rivisti nel 1905 e le relative «istruzioni» ai maestri.

Aritmetica

CLASSE I

Numerazione parlata e scritta sino a 100. Esercizi pratici orali e scritti sulle quattro operazioni sino a 20.

CLASSE II

Numerazione parlata e scritta sino al mille inclusivo ed ai multipli di mille sino a diecimila. Esercizi orali sulle quattro operazioni sino a 100 e scritti sino ai multipli di mille e sino a diecimila. (Nella moltiplicazione e nella divisione il moltiplicatore ed il divisore debbono essere rispettivamente di una sola cifra), Soluzione di facili problemi pratici. Concetto intuitivo della frazione ordinaria. Cognizioni pratiche elementari delle unità di misura (lunghezza, capacità e peso) di uso più comune.

CLASSE III

Numerazione parlata e scritta oltre 10.000. Calcolo mentale sulle quattro operazioni (entro il 100, tranne che si tratti di moltiplicare o dividere per 10 o multipli di 10). Esercizi scritti sulle quattro operazioni dei numeri interi e decimali, (Nella moltiplicazione uno dei fattori e nella divisione il divisore non devono avere più di tre cifre; l’altro fattore e il dividendo non devono averne più di sette). Scrittura delle frazioni ordinarie e loro riduzione in decimali. Esercizi pratici sulle misure metriche (lunghezza, capacità, peso e valore). Soluzione di facili problemi. Nozione intuitiva e disegno a mano libera delle principali figure geometriche piane.

CLASSE IV

Calcolo mentale. Esercizi scritti sulle quattro operazioni con numeri interi e decimali e sulla riduzione di frazioni ordinarie in decimali. Nelle moltiplicazioni i prodotti non dovranno oltrepassare le nove cifre e uno dei fattori non dovrà averne più di tre. Nelle divisioni il dividendo non dovrà superare le nove cifre, né il divisore dovrà averne più di tre. Lettura e scrittura dei numeri romani. Esercizi pratici sul sistema metrico decimale (lunghezza, superficie, volume, capacità, peso e valore). Soluzione di facili problemi. Nozioni e disegno a mano libera delle figure geometriche piane e regole pratiche per misurarle. Nomenclatura e disegno a mano libera de’ principali solidi geometrici.

CLASSE V

Calcolo mentale. Esercizi e facili problemi sulle quattro operazioni con interi e decimali, con dirette applicazioni al sistema metrico, alle misure agrarie e di uso in commercio. Calcolo pratico di frazioni ordinarie. Nozioni pratiche di rapporti e proporzioni semplici (interesse, sconto, aggio, tara, senseria). Disegno a mano libera e costruzione dei solidi geometrici; regole pratiche per misurarne la superficie e il volume.

CLASSE VI

Esercizi di aritmetica e di geometria, con richiamo delle regole apprese nella quinta classe. Soluzione a memoria di facili problemi. Regola del tre semplice e composto, col metodo della riduzione all’unità. Computi commerciali. Ragguaglio del sistema monetario italiano coi sistemi dei più importanti Stati esteri ed applicazioni commerciali.

Lo studio dell’aritmetica nelle scuole elementari va prima dal sensibile all’astratto, poi dall’astratto al concreto.

I primi rudimenti di calcolo, non vanno mai disgiunti da dati sensibili.

La rappresentazione di due fanciulli, quattro mele, cinque dita, precede naturalmente la nozione dei numeri astratti due, quattro, cinque. Gli esercizi di numerazione e di calcolo si eseguano dunque da principio su oggetti che il fanciullo tiene in mano o vede, facendo contare oggetti di scuola, come i banchi, i posti, libri, pagine di libri, compiti, ecc. Specialmente negli esercizi di numerazione si deve sempre aver cura di ampliare la rappresentazione concreta che l’alunno può farsi di un numero grande, il quale altrimenti molto spesso resta per lui una pura nozione verbale.

L’utilità di questi esercizi sarà segnalata in modo particolare a proposito delle nozioni di storia e di geografia.

In generale poi, quando il maestro si accorga che il fanciullo duri fatica a darsi ragione di un numero o dei risultati di una operazione numerica, converrà sempre ritornare ai dati del senso e della esperienza.

Ciò che sin dai primi passi si raccomanda al maestro si è, che, nella rappresentazione di più unità concrete, le singole unità siano non soltanto omogenee, ma anche almeno approssimativamente uguali: due pezzi di carta di uguale forma e dimensione, due palline uguali, due mele, due arance e così via; e ciò perché l’intuizione si accosti di più al concetto matematico di unità, mentre ripugna anche al semplice istinto logico l’assumere sotto lo stesso concetto di unità, per esempio, un grande foglio e un pezzettino di carta, una grossa pietra e un ciottolino, la lavagna della classe e la lavagnetta che il fanciullo può avere in mano.

I primi esercizi debbono essere soltanto mentali e orali.

I programmi dànno la più grande importanza al calcolo mentale, di cui quello scritto dev’essere soltanto un ausilio nei casi più complicati. Se è condannevole l’abuso degli esercizi scritti, ancor più da riprovarsi è l’applicare subito i fanciulli alle operazioni scritte sui numeri, le quali diventano spesso una pura meccanica di segni grafici. Il maestro tenga bene presente, che si può essere assolutamente analfabeti, eppure fare speditamente le operazioni numeriche più complicate, come avviene a quelle persone ignoranti, che pure debbono fare ogni giorno dei conti: la massaia che calcola il frutto delle uova, la donna di servizio che fa il doppio conto della spesa, il piccolo rivenditore che traffica svariati generi di cose di vario prezzo e così via.

Le operazioni numeriche possono infatti compiersi, come si è notato, senza bisogno di saper leggere e scrivere,

e può dirsi che la scuola, se abitua in tutti i casi al sussidio grafico, sopprime o indebolisce attitudini spontanee di agilità e prontezza intellettuali, le quali essa dovrebbe invece sviluppare. La nozione precede naturalmente il segno grafico, così per le parole come pel numero, e l’esercizio scritto non deve essere, specialmente da principio, che un’applicazione e riproduzione dell’esercizio orale. Né questo si dica solo della numerazione e delle quattro operazioni fondamentali, ma persino dei problemi di cui nei gradi superiori l’alunno deve poter dare, entro limiti ragionevoli, e quindi pratici, pronta e sicura soluzione.

Secondo le linee del programma, la materia dell’aritmetica ha per base, in tutte le sei classi, il contare e l’eseguire le quattro fondamentali operazioni, sia a voce che per iscritto, e, come termine, l’applicazione del calcolo a problemi occorrenti nella pratica professionale. Il limite varia secondo i gradi.

Nella prima classe i fanciulli dovranno saper contare sino a 100

ed essere addestrati ad impiegare il periodo numerico dall’1 al 20, eseguendo, per mezzo di opportuni esercizi che non escano dalla cerchia di questo periodo, le quattro operazioni. Si forma così la base di concetti numerici di ordine più alto.

Nella prima e nella seconda classe si evitino i termini tecnici che entrano nelle operazioni (poste, fattori, quozienti, ecc.), cu­rando però di far comprendere il rapporto fra le varie operazioni.

Così si dirà che la sottrazione è un’addizione inversa, la moltiplicazione un’addizione di numeri uguali ripetuta tante volte, e così via.

Essendo nella prima classe limitatissima la quantità degli esercizi che possono farsi entro il periodo numerico dall’1 al 20, il maestro dovrà ottenere che gli allievi acquistino una pronta sicurezza nel dare i risultati di queste facili operazioni: contare per due, per quattro e per cinque fino a 20; sommare e sottrarre fino a questo limite; moltiplicare (e cioè raddoppiare un numero non superiore a 10, triplicare un numero non superiore a 6, quadrupli­care un numero non più alto del 5) e dividere (cioè trovare la metà, il terzo, il quarto, il quinto di numero non più alto del 20, purché il quoziente sia un numero intero).

Quando il maestro si accorga che un esercizio di aritmetica ha stancato, lo sospenda,

poiché la mente dei fanciulli non deve essere affaticata soverchiamente nel calcolo; ogni esercizio non deve oltrepassare la mezz’ora.

E perché l’attenzione della scolaresca non si rallenti, è bene che il maestro esponga ogni operazione senza preamboli, con sobrietà e chiarezza, abituando i fanciulli alla riflessione ed esigendo che essi a ogni quesito orale o scritto rispondano con brevi, ma compiute proposizioni.

Così una mezz’ora di aritmetica sarà anche una mezz’ora d’insegnamento di lingua.

Nella seconda classe il nuovo programma prescrive la numerazione e le quattro operazioni sino al mille ed ai multipli di mille non oltre 10 mila. Ciò non deve parer troppo. Invero si consideri che il nostro sistema numerico, per la sua simmetria anche verbale, se si eccettui il periodo che va da 10 a 100, non è che una ripeti­zione delle prime nove cifre come unità di ordine successivo. Il fanciullo il quale sa dire che due più due fan quattro, può anche dire che due‑cento più due‑cento fan quattro‑cento, che due‑mila più due‑mila fan quattro‑mila. E potrebbe anche soggiungere che due‑milioni più due‑milioni fanno quattro‑milioni, se questo calcolo non si reputasse eccessivo per l’intuizione di lui.

Una razionale connessione della materia insegnata nelle prime due classi, porterà a ottenere, con opportuni mezzi d’intuizione, che i fanciulli, alla fine del secondo anno, abbiano acquistato sicurezza spedita nelle operazioni racchiuse nel periodo dall’1 al 100 e conoscenza completa della tavola pitagorica.

Fare apprendere questa tavola ai fanciulli come arido, meccanico esercizio di memoria è metodo arcaico, che li sottopone ad una vera tortura intellettuale.

Il maestro faccia contare per due, per tre, faccia calcolare dei prodotti come altrettante somme, agli esercizi di moltiplicazione faccia seguire quelli inversi di divisione, e via: così otterrà in breve tempo, con opportune applicazioni, oltre alla conoscenza chiara della cosa, anche la speditezza che si conseguiva una volta, coll’apprendere a memoria le tavole per la moltiplicazione e la divisione. Per aver meglio presente l’idea della cosa sarebbe opportuno sostituire, nelle prime classi almeno, la dizione due volte tre, a quella curiosa due via tre, o a quell’altra, non chiara per i fanciulli, due per tre.

Il concetto intuitivo della frazione, che si dà in seconda

(la metà, il quarto, l’ottavo, il. terzo, il sesto, la metà della metà, la metà del quarto, ecc.) dividendo un foglio di carta in tante parti eguali o presentando un oggetto, per esempio, un’arancia divisa in 2, 4, 8, 3 e 6 parti, è cognizione puramente empirica. Neppure l’insegnamento della scrittura delle frazioni ordinarie, della loro riduzione in decimali, come si prescrive nel programma di terza e quarta, e gli elementi del calcolo delle frazioni, che si dànno in quinta e sesta, debbono uscire fuori del limite imposto dall’indole della scuola elementare popolare. Il numeratore della frazione dev’essere un numero concreto, che prende il nome dal denominatore.

Le operazioni, in cui la frazione è considerata come quoziente astratto, non sono materia per le scuole elementari. Sa per altro il maestro che l’uso delle frazioni ordinarie, dopo l’introduzione del sistema metrico, si è di molto limitato.

Non all’improvviso, nella terza classe, il maestro deve trattare delle misure metriche più comuni;

ma dovranno nella seconda già essere state mostrate agli alunni le misure, comprese nel limite del periodo numerico ad essi già familiare; ed essi verranno abituati a misurare a occhio, con la maggiore approssimazione, lunghezze, capacità e pesi di uso comune nella vita pratica.

Né è mai troppo presto far vedere ai fanciulli e abituarli a distinguere e ad usare pesi, misure e monete. Sin dalla seconda classe si dia loro la nozione pratica di metro, litro, chilogrammo, grammo, centimetro, lira, soldo, centesimo, le quali misure debbono quasi tutte già essere parte immancabile, per un’antica disposizione, della suppellettile scolastica.

Alla fine del terzo anno l’alunno deve essere capace d’eseguire rapidamente le operazioni fondamentali dell’aritmetica.

L’esercizio di numerazione non ha ormai più alcun limite;

tuttavia il maestro abbia generalmente cura che i numeri dati negli esercizi ed anche nei problemi rispondano, per quanto è possibile, al vero della vita: così per esempio l’indicazione d’un prezzo lontano dal reale ingenera un’informazione errata: e questo è un male. Per i calcoli su grandi numeri il maestro può servirsi, per esempio, dei dati statistici della popolazione dei vari stati; così otterrà doppio vantaggio.

Qualunque insegnamento deve essere insomma nutrito di verità: l’ipotesi astratta è forma da usarsi nello studio superiore della matematica, e non nella scuola popolare.

Non bisogna mai perdere di vista il fine che l’insegnamento dell’aritmetica ha in questo primo grado dell’istruzione.

Non sì tosto il fanciullo si sia elevato alla nozione astratta dei numeri e si muova con sufficiente libertà nei loro rapporti e nelle relative operazioni (il limite di 9 cifre segnato agli esercizi formali è più che largo), bisogna subito ricondurlo fra le cose, in mezzo ai rapporti concreti della realtà, e fargli constatare come quello strumento universale di misura, di cui la sua mente omai dispone, possa avere infinite applicazioni pratiche. È qui che diventa massimo il valore formale dello insegnamento aritmetico. L’abilità del maestro consisterà nel rendere queste applicazioni proporzionate, utili, e soprattutto convincenti.

Il campo più libero per queste applicazioni è quello dei problemi.

Questo esercizio, comincia nella seconda classe, per la quale il programma prescrive: soluzione di facili problemi pratici.

Il maestro accorto fa risolvere dei problemi, senza neppure adoperarne il nome.

Nel primo grado di questo esercizio è bene che la condizione sia una sola e sempre chiaramente intelligibile, e di natura pratica, desunta dalla vita reale, anzi, meglio, dalla esperienza del fanciullo. Il problema può di grado in grado divenire più complesso per numero di condizioni e di quesiti, ma questo numero dev’essere sempre tale che il fanciullo possa comprenderlo, rappresentandosi in modo vivo e concreto il caso che il problema suppone. Per aiutare questa rappresentazione, è buon metodo quello di indicare come soggetto del problema l’alunno stesso, ponendo il caso in forma d’interrogazione condizionale a lui diretta. Ciò ha un valore psicologico e corrisponde al fine pratico che questo esercizio deve avere: preparare l’alunno a risolvere i problemi che egli, e non altri, incontrerà nella vita quotidiana.

Per questo stesso motivo, non debbono mai i problemi rivestire forma enigmatica e richiedere uno sforzo mentale per essere compresi; né poi imporre una successione complicata di operazioni troppo lunghe; il limite è anche qui segnato dai bisogni della vita reale. È buon metodo quello di far dire a voce e per iscritto le ragioni che guidano il fanciullo nel trovare la soluzione, purché il così detto ragionamento non si riduca ad un formulario vacuo o, come spesso avviene, ad una tautologia.

Il maestro si assicurerà sempre con opportune domande che i fanciulli abbiano ben compreso.

Né è da escludersi che egli, assegnando un problema, indichi, massime nei primi esercizi di un dato genere, la via per risolverlo. Utilissimo è poi il metodo di condurre gli alunni delle ultime classi a proporsi dei casi di calcolo sotto forma di problemi, facendo risultare questi da argomenti trattati nella scuola. Con ciò si avrà la riprova che essi hanno ben capito.

Un altro campo non piccolo di applicazioni pratiche di calcolo aritmetico che può dare anche molta materia di problemi, è quello delle misure metriche.

Il maestro noti per i nessi tra le varie parti del programma, che nella terza classe cominciano contemporaneamente le operazioni coi numeri decimali e gli esercizi pratici sulle misure metriche. La conoscenza esatta dell’uso pratico di queste misure è graduata fra la terza e la quarta classe, e impiegata poi largamente nella quinta e sesta, in relazione con l’indirizzo professionale che l’istruzione assume in queste due ultime classi. Consideri il maestro come tutta la ricchezza, qualunque prodotto del lavoro umano, sia agricolo o manifatturiero, qualunque valore, sia bene mobile o immobile, viene misurato secondo una qualche unità del sistema metrico decimale, e da ciò tragga il convincimento della capitale importanza che ha per l’attività economica del futuro lavoratore la spedita e sicura abilità nei relativi calcoli.

Nelle due ultime classi, come si è varie volte accennato, le applicazioni del calcolo aritmetico diventano ancora più speciali.

Connessi con l’informazione sulla vita economica nelle sue varie forme, qui cominciano i computi sul denaro (interesse, sconto, aggio, senseria, ecc.), il quale è il termine medio equivalente di tutta la ricchezza; quelli relativi alle misure agrarie e di uso in commercio (ciò che richiede una certa diversità da luogo a luogo) e, in una parola, i computi commerciali. Il carattere essenzialmente pratico di questi computi d’uso indispensabile per chiunque sia chiamato a valutare utilità economiche, garantisce dal pericolo di vacue astrazioni. Raccomandabile è però che queste esercitazioni non degenerino in arido formalismo, colle solite definizioni, ma siano fatte empiricamente e sostenute dall’interesse che può destare la dimostrazione viva e tangibile di rapporti economici esattamente calcolati.

Non trascurerà certo il maestro di mettere in relazione quest’insegnamenti con quelli professionali e di computisteria. La esemplificazione diventerà così più ricca di nessi, si avvicinerà di più alla realtà, e riuscirà di maggiore interesse per gli alunni.

I calcoli sulle frazioni ordinarie debbono essere, come si è già accennato, pratici.

Il denominatore deve essere sempre qualche cosa di concreto, un campo da sezionare, un capitale da dividere, un guadagno da distribuire, e così via.

I casi più frequenti, che hanno un interesse pratico, sono quelli di addizione e sottrazione di frazioni ordinarie. A questi casi si limiterà prudentemente il maestro.

Prima di chiudere queste istruzioni relative all’aritmetica, giova anche avvertire, che alla quarta classe si è creduto di assegnare la lettura e scrittura dei numeri romani, tenuto presente che in quello stesso anno s’insegnano aneddoti di storia romana, e che, in generale, non deve essere un mistero per gli alunni delle scuole elementari il decifrare numeri nelle lettere romane, delle quali si fa anche oggi non poco uso.

L’insegnamento della geometria comincia nella terza classe e continua in tutte le altre classi, accompagnato sempre dal disegno.

La ragione di questo precetto è ovvia. Il disegno sta alla nozione geometrica, come la scrittura sta alla parola e al numero.

Il fanciullo sarà più penetrato della nozione geometrica appresa e la ricorderà meglio, quando egli stesso saprà costruire la rela­tiva figura.

È poi noto che spesse volte una proprietà geometrica si richiama alla memoria tracciando la figura ed esaminando i rap­porti dei suoi elementi.

Anche qui l’insegnamento deve essere intuitivo, e non dimo­strativo.

Nella più parte dei casi, il maestro si limiterà a dare la nomenclatura di una figura geometrica e delle sue parti e l’indi­cazione di qualche sua principale proprietà.

Per la terza classe il programma prescrive: nozione intuitiva e disegno a mano libera delle principali figure geometriche piane, (s’intende, in quanto è possibile): linee rette, curve, miste, rego­lari, irregolari, angoli, triangoli, parallelogrammi, quadrati, rettan­goli, trapezio, circolo. Le definizioni debbono tralasciarsi.

Sarà abbastanza se l’alunno saprà distinguere prontamente l’una dall’altra figura e disegnarla a memoria. Il disegno geometrico, in questa come nella quarta classe, va fatto a mano libera.

Con ciò non si pretende che gli alunni siano dei Giotti.

Il maestro adoperi la carta stimmografica che è un notevole sussidio per la regolarità delle figure. Quanto al circolo, che certo non si può tracciare esat­tamente a mano libera, si cominci dal farlo costruire mediante la congiunzione di tante piccole curve successive equidistanti da un punto centrale.

Se l’alunno avrà adoperato in prima classe la tavo­letta di ardesia per apprendere a scrivere, potrà adoperare per il disegno la stessa tavoletta, la quale nel rovescio ha di solito un tracciato a quadrelli.

In quarta classe si aggiungono alle nozioni geometriche già apprese le regole pratiche per misurare le principali figure piane. Questi esercizi stanno naturalmente in relazione con quelli di mi­sure metriche di lunghezza e superficie, sebbene con essi non coin­cidano. In generale, procedendo intuitivamente, senza formule a­stratte, non riuscirà difficile dare le norme per misurare il trian­golo, il quadrato, il rettangolo.

Difficoltà presenta invece la mi­surazione della circonferenza e della superficie di un cerchio.

Il maestro esperto suole far risultare il rapporto della circonferenza col raggio, facendo misurare con un filo il più grande poligono inscritto e il raggio di cerchi di varia grandezza, e constatare che il rapporto rimane costante. Questo o altri procedimenti empirici, che suggerisce la pratica scolastica, sono raccomandabili e, mal­grado la loro naturale imperfezione, da preferirsi in ogni caso al procedimento astratto e rigidamente matematico.

Nella quarta classe s’insegneranno anche la nomenclatura e il disegno, sempre a mano libera,

dei principali solidi geometrici (prismi, coni, cilindro, e per quanto si può sfera) e delle loro parti. Anche per questi esercizi di disegno il maestro prescriverà l’uso della carta a quadrelli o della tavoletta di ardesia, sebbene dai più progrediti potrà poi richiedere l’uso della carta bianca. È ovvio soggiungere che i modelli delle figure geometriche in filo di ferro e in legno, debbono essere tenuti presenti, e che il maestro inse­gnerà a rendere questi modelli in prospettiva, cambiando per il cubo l’angolo visuale.

Nella classe quinta gli elementi della geometria solida si esten­dono colle norme pratiche per misurare i principali solidi geo­metrici. Anche questi esercizi sono in rapporto con quelli di mi­sure di capacità e di volume, pur senza coincidere con essi. Fa­cendo misurare la superficie dei solidi il maestro avrà modo di ri­chiamare le nozioni date in quarta per la misura delle figure geo­metriche piane. L’insegnamento della geometria e del disegno geo­metrico non va e non deve andare nella scuola elementare oltre questi rudimenti.

Le applicazioni di queste prime nozioni hanno luogo principal­mente nello studio del disegno libero, il quale, nelle due ultime classi, come vedremo, prende anch’esso un indirizzo pratico pro­fessionale, con opportuna diversità di scopi per le scuole maschili e le femminili.