Antologia di belle pagine ad uso dei docenti che amano trovare sempre nuove forme espressive e nuovi legami logici per comunicare quel che sanno. Che cos’è il calcolo delle variazioni e a che serve.
Il passo che segue è tratto dalla voce Calcolo delle Variazioni presente sul II Supplemento (1998) dell’Enciclopedia del Novecento, sul cui sito il testo è integralmente disponibile [VEDI]. Gli autori sono Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso e Ennio De Giorgi (i primi due entrambi classe 1954 e allievi di De Giorgi).
Ennio De Giorgi (1928-1996)
“In linea di principio rientrano nel calcolo delle variazioni tutti i problemi in cui si cerca il massimo o il minimo di una data grandezza. […]
Il calcolo delle variazioni ha interessato in ogni tempo i matematici; nel corso dei secoli i metodi seguiti nello studio dei problemi di calcolo delle variazioni sono stati assai vari, passando da considerazioni sintetiche di geometria classica a un ampio uso del calcolo differenziale e integrale, ai più recenti metodi diretti del calcolo delle variazioni in cui si utilizzano largamente concetti di analisi funzionale – per esempio gli spazi a infinite dimensioni di Hilbert e di Banach – e di moderna teoria della misura, che intervengono, per esempio, nella ricerca delle superfici minime con bordo assegnato.
Alcuni esempi storici
a) Il problema isoperimetrico.
La più antica versione del problema isoperimetrico consiste nel trovare, tra i poligoni di assegnato perimetro e assegnato numero di lati, quelli di area massima. La soluzione di questo problema è data dai poligoni regolari, cioè dai poligoni aventi lati eguali e angoli eguali. Una dimostrazione di questo risultato, ottenuta unicamente con i metodi sintetici della geometria euclidea, si trova nelle opere di Pappo di Alessandria (circa 320 d.C.), che riportano, sembra, ragionamenti contenuti in un trattato, andato perduto, scritto circa cinque secoli prima da Zenodoro.
Questo risultato, insieme a un semplice confronto tra l’area di un cerchio e quella dei poligoni regolari di eguale perimetro, permette di stabilire che il cerchio ha area maggiore di quella di qualsiasi poligono avente lo stesso perimetro. Se si introduce la moderna nozione di lunghezza di una curva rettificabile, con piccole aggiunte tecniche a questi ragionamenti classici si può dimostrare la ‛proprietà isoperimetrica’ del cerchio nella forma seguente: la circonferenza racchiude una superficie maggiore di quella delimitata da qualsiasi altra curva piana avente la stessa lunghezza.
Nel trattato di Zenodoro, di cui ci sono giunti solo alcuni frammenti, è enunciata anche l’analoga proprietà della sfera: la superficie sferica racchiude un volume maggiore di quello delimitato da qualsiasi altra superficie chiusa di eguale area. La dimostrazione fornita da Zenodoro è incompleta, e bisognerà attendere fino alla metà del secolo scorso per avere le dimostrazioni moderne a opera di J. Steiner (1842), H. A. Schwarz (1884), H. Minkowski (1903), J. O. Müller (1903) e L. Tonelli (1915), i quali confrontano la sfera con varie classi di superfici più o meno regolari.
Successivamente, […], è stato possibile attribuire un’area, finita o infinita, a ogni sottoinsieme dello spazio, e dimostrare la proprietà isoperimetrica della sfera rispetto a tutte le superfici chiuse ottenute come bordo di insiemi arbitrari. Questa proprietà è stata poi estesa senza difficoltà al caso di spazi euclidei di dimensione arbitraria.
b) Il principio di Fermat e le leggi della rifrazione.
Nel 1662 P. Fermat enunciò il celebre principio secondo il quale ‟la natura agisce nei modi e mezzi che sono più semplici e rapidi” e non sempre ‟seguendo i cammini più brevi”. Nel caso della propagazione della luce, il principio di Fermat stabilisce che i raggi luminosi in un mezzo non omogeneo seguono le traiettorie che rendono minimo il tempo impiegato dalla luce a percorrerle. Tale principio fu applicato da Fermat per ricavare le leggi della rifrazione.
c) Il problema di Newton del profilo di minima resistenza.
Nel 1685 Newton formulò e risolse quello che si può considerare il primo vero problema del calcolo delle variazioni: la ricerca del miglior profilo aerodinamico per un corpo che si muove in un fluido non viscoso e incomprimibile. Newton studiò il problema supponendo che il fluido in questione fosse talmente rarefatto da poterlo considerare come composto da piccole particelle uniformemente distribuite e indipendenti tra loro, e che l’interazione tra il corpo in movimento nel fluido e il fluido fosse dovuta soltanto agli urti delle particelle contro il corpo. Inoltre veniva trascurato ogni attrito tangenziale, e si supponeva che il corpo fosse radialmente simmetrico.
d) La brachistocrona.
Il problema della brachistocrona consiste nella ricerca della curva lungo cui far scivolare senza attrito un punto materiale soggetto alla sola azione della forza di gravità, in modo da raggiungere nel minimo tempo un punto assegnato partendo da un altro punto con velocità iniziale nulla. Tale problema fu formulato nel 1638 da Galileo, che propose come curva soluzione un arco di circonferenza. La soluzione esatta, trovata da Johann Bernoulli nel 1697, è invece un arco di cicloide.
e) La catenaria.
Il problema della catenaria – proposto da Galileo nel 1638, e risolto indipendentemente dai fratelli Bernoulli, da Huygens e da Leibniz in una serie di lavori pubblicati tra il 1690 e il 1692 – può essere formulato nella maniera seguente: determinare la forma che un cavo pesante flessibile e inestensibile (catena) assume quando è fissato agli estremi ed è soggetto soltanto all’azione della forza di gravità.
Geodetiche.
Un classico problema di calcolo delle variazioni di tipo geometrico è il problema delle geodetiche […]. Data una superficie, si chiama ‛geodetica minimale’ un arco di curva sulla superficie la cui lunghezza sia minore o uguale a quella di tutti gli altri archi aventi gli stessi estremi e giacenti sulla superficie.
Ad esempio, nel caso di un piano le geodetiche minimali sono i segmenti di retta; nel caso di una superficie sferica, le geodetiche minimali sono gli archi di cerchio massimo che sottendono un angolo al centro minore o uguale a 180°; nel caso di una superficie cilindrica a base circolare, le geodetiche minimali sono gli archi di elica cilindrica che non fanno più di mezzo giro attorno al cilindro, cui vanno aggiunti, come casi limite, i segmenti che giacciono sulle rette generatrici e gli archi di cerchio che giacciono sui piani ortogonali alla direttrice del cilindro e che sottendono un angolo al centro minore o uguale a 180°.
Per estensione, si chiama ‛geodetica’ ogni curva su una superficie che abbia la seguente proprietà: dati due punti sulla curva, sufficientemente vicini, l’arco di curva compreso tra questi due punti ha lunghezza minore o uguale a quella di tutti gli altri archi che li congiungono e giacciono sulla superficie. In altre parole, una geodetica è una curva i cui sottoarchi sufficientemente piccoli sono geodetiche minimali. In base a questa definizione, ogni arco di cerchio massimo è una geodetica sulla sfera, mentre solo quelli di ampiezza minore o uguale a 180° sono geodetiche minimali. Allo stesso modo si vede che ogni arco di elica cilindrica è una geodetica sul cilindro, mentre solo gli archi che non si avvolgono per più di mezzo giro sono geodetiche minimali.
Se una curva è descritta in forma parametrica dalle equazioni x = x (t), y = y (t), z = z (t), con t che varia tra 0 e 1, e si indica con u (t) il punto dello spazio di coordinate (x (t), y (t), z (t)), la lunghezza della curva si può esprimere a partire dalla funzione u tramite la classica formula
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